高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结
一.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若（2）第二定义中要2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 练习：
1.已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）； A．PF B．PF 1?PF2?41?PF2?6C．PF D．PF11?PF2?1022?PF2?12
2.方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
x23.已知点Q(22,0)及抛物线y?上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
4二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2y2x?acos?（参数方程，其中?为参（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0）?y?bsin?aby2x222数），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。方程Ax?By?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC
ab≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
?x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。方程
ababAx2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口向上时
22x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。
练习：
11x2y21.已知方程； ??1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：(?3,?)U(?,2)）
3?k2?k22222.若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x?y的最小值是___（答：5,2）
x2y253.双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲线的方程_______
2944.设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?方程为_______（答：x2?y2?6）
2的双曲线C过点P(4,?10)，则C的
x2y25.已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__
m?12?m三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x2,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
22（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
2（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，c?a?b。
四.圆锥曲线的几何性质：
222222x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个
ab焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其
a2c中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，
cae越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
x2y2（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两?2?1（a?0,b?0）为例）
2ab个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
2acx2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，双曲线?e?1，等轴双曲线cab?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??x。
a（3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(2p,0)，其中2焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；p的几何意义是：④准线：一条准线x??练习：
pc； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。 2a25x2y2101.若椭圆，则m的值是__（答：3或）； ??1的离心率e?55m32.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__ 3.双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于______（答：224.双曲线ax?by?1的离心率为5，则a:b= 1313或）； 23 （答：4或
1）； 4x2y25.设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________
ab（答：[??； ,]）3226.设a?0,a?R，则抛物线y?4ax的焦点坐标为________（答：(0,1； )）16a22x0y0x2y2五、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；
abab2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1
abab六．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如
（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切； （3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线
x2y2与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公
ab共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习：
1.若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______
2
2
x2y2??1恒有公共点，则m的取值范围是_______ 2.直线y―kx―1=0与椭圆
5mx2y2??1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条 3.过双曲线124.过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；
2x2y25.过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______
916y26.过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，则满足条件的直线l有____
227.对于抛物线C：y?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；
8.过抛物线y?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
22211； ??_______（答：1）
pqx2y2??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于9.设双曲线169P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；
10.求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离（答：22813）； 1311.直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①?3,3；②a??1）；
七、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到
??
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