2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
(二)
学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
知识点一 平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律 交换律 结合律 实数乘法 向量数量积 判断正误 正确 错误 ab＝ba (ab)c＝a(bc) a·b＝b·a (a·b)c＝a(b·c) (a＋b)·c ＝a·c＋b·c 分配律 (a＋b)c＝ac＋bc 正确 a·b＝消去律 ab＝bc(b≠0)?a＝c b·c(b≠0) ?a＝c 错误
知识点二 平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 (a＋b)＝a＋2ab＋b 222向量数量积 (a＋b)＝a＋2a·b＋b 222(a－b)＝a－2ab＋b (a＋b)(a－b)＝a－b (a＋b＋c)＝a＋b＋ 22222222(a－b)＝a－2a·b＋b (a＋b)·(a－b)＝a－b (a＋b＋c)＝a＋b＋c＋ 2a·b＋2b·c＋2c·a 222222222c2＋2ab＋2bc＋2ca
类型一 向量数量积的运算性质
例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________. 答案 ④
解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.
反思与感悟 向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a·b)·c－(c·a)·b＝0； ②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直； ③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|－4|b|. 其中正确的是________.(填序号) 答案 ③
解析 (a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；由[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0知，(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确. 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 已知向量垂直求参数值
例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________. 答案 2
1解析 由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所
2以t＝2.
反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b?a·b＝0.
2
22
跟踪训练2 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k等于( )
915A.－ B.0 C.3 D.
22答案 C
解析 因为a＝(k，3)，b＝(1，4)，
所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6). 因为(2a－3b)⊥c，
所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2，1) ＝2(2k－3)－6＝0， 解得k＝3.故选C.
命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 则
k的取值范围为________.
答案 (0，1)∪(1，＋∞)
解析 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke1＋ke2＋(k＋1)e1·e2 ＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
反思与感悟 由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非ππ
零向量a，b，θ∈[0，)?a·b>0，θ∈(，π]?a·b<0.
22
跟踪训练3 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 解 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ. ?2te1＋7e2?·?e1＋te2?
根据题意，得cos θ＝<0，
|2te1＋7e2||e1＋te2|∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
12
化简，得2t＋15t＋7<0，解得－7 2 当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角. 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0， 2 2 2 3 2t＝λ，?? 则?7＝λt，??λ<0， ?λ＝－14， ?∴?14 t＝－.?2? 2 ∴实数t的取值范围是(－7，－14141 )∪(－，－). 222 1.下面给出的关系式中正确的个数是( ) ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a＝|a|；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)＝a·b. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)＝(|a||b|·cos θ)＝a·bcos θ，故选C. 2.已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是( ) A.60° B.30° C.135° D.45° 答案 C 解析 ∵(a＋b)·a＝a＋a·b＝0， ∴a·b＝－a＝－1， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a·b－12 ∴cos〈a，b〉＝＝＝－. |a||b|1×22 ∴〈a，b〉＝135°. 3.已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为( ) A.1 B.0 C.2 D.3 答案 D 解析 由题意得(a－mb)·a＝0，a＝ma·b， |a||a|3 ∴m＝＝＝＝3，故选D. a·b|a||b|cos 60°1 2×2 →→→ 4.已知正三角形ABC的边长为1，设AB＝c，BC＝a，CA＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是( ) 3A. 23C.－ 2 2 2 2 1B. 21D.－ 2 4
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