人教高中数学必修五第一章-解三角形证明及知识梳理

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第一章 解三角形

一.正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外

abc???2R（其中R是三角形外接圆的半径） 接圆的直径，即

sinAsinBsinCa?b?cabc???2.变形：1）．

sin??sin??sinCsin?sin?sinC 2）化边为角：a:b:c?sinA:sinB:sinC；

asinAbsinBasinA?; ?; ?; bsinBcsinCcsinC 3）化边为角：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC

sinAasinBbsinAa?; ?;?; sinBbsinCcsinCcabc,sinB?,sinC? 5）化角为边： sinA? 2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a，

asinAbsinB; ?; 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理?bsinBcsinCasinA?;求出b与c csinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A,

asinA 解法：由正弦定理?求出角B,由A+B+C=180o 求出角C，再使用正

bsinBasinA弦定理?求出c边

csinC

4.△ABC中，已知锐角A，边b，则 ①a?bsinA时，B无解； b bsinA ②a?bsinA或a?b时，B有一个解； ③bsinA?a?b时，B有两个解。 A 4）化角为边：

如：①已知A?60?,a?2,b?23,求B(有一个解) ②已知A?60?,b?2,a?23,求B(有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

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关于证明的相关叙述

首先证明三角函数的和与差公式，

然后证明三角形的余弦定理，最后证明，

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向量的代数形式与几何形式等价。

代数形式a.b?(x1,y1).(x2,y2)?x1.x2?y1.y2

几何形式a.b=|a|.|b|cos?a?x12?y12b?x22?y222c(线段长)?(x1?x2)2?(y1?y2）

a2?b2?c2cos??2ab把a,b,c代入上式，则a.b?x1.x2?y1.y2

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