又圆心O到直线3x?4y?5?0的距离d?3?0?4?0?53?422?1， …………………3分
所以 c?1，b2?a2?c2?1，………………………………………………………………5分
x2?y2?1； …………………………………………………6分 所以椭圆C的标准方程为22x02?y0?1,……………………………………7分 ⑵设P?x0,y0?，因为点P在椭圆上，所以有2因为圆T的圆心T?0,t?在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．
22所以圆T的方程为x??y?t??t?1, ?t?0?，…………………………………………8分
2由PQ?QT?0得PQ2?PT2?QT2?x0??y0?t??t?1，
222x022?y0?1，所以PQ2???y0?t??t2?1， …………………………………………10分 又2①当?t≤?1即t≥1时,当y0??1时,PQ取得最大值2t, 2??因为PQ的最大值为555，所以2t?,解得t?,又t≥1，故舍去. ……………12分 282 ②当?t??1即0?t?1时,当y0??t时,PQ取最大值t2?1, 所以t2?1?1152，解得t?，又0?t?1，所以t?. ……………………………14分
42215时,PQ的最大值为.………………………………………………16分 2211f(x?2)?f(x?4)， 24 综上,当t?19．（1）当x∈(0，2)时，f(x)?由条件，当x ? 4∈(?4，?2)，f(x?4)的最大值为 ? 4，
所以f(x)的最大值为 ? 1．……………………………………………………………2分 因为f?(x)?111?ax，令f?(x)?0，所以x??．……………………………3分 ?a?axx111因为a??，所以??(0,2)．当x∈(0，?)时，f?(x)?0，f(x)是增函数；
2aa1当x∈(?，2)时，f?(x)?0；f(x)是减函数．
a111则当x ??时，f(x)取得最大值为f(?)?ln(?)?1??1．所以a ? ? 1．……6分
aaa（2）设f(x)在x??1,2?的值域为A，g(x)在x??1,2?的值域为B，则依题意知A?B．
因为f(x)在x??1,2?上是减函数，所以A ? (ln2?2,?1)．
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又g?(x)?bx2?b?b(x2?1)，因为x??1,2?，所以x2?1??0,3?． 22① b ? 0时，g?(x)? 0，g(x)是增函数，B ? (?b,b)．
3323因为A?B，所以?b≤ln2?2．解得b≥3?ln2．
3222② b ? 0时，g?(x)? 0，g(x)是减函数，B ? (b,?b)．
3323因为A?B，所以b≤ln2?2．b≤?3?ln2．
3233由①，②知，b≤?3?ln2，或b≥3?ln2．……………………………………………16分
2220．（1）由an，?bn，an?1成等差数列可得，?2bn?an?an?1，①
由bn，?an，bn?1成等差数列可得，?2an?bn?bn?1， ② ①?②得，an?1?bn?1??3(an?bn)，
所以?an?bn?是以6为首项、?3为公比的等比数列．………………………………………6分 （2）由（1）知，an?bn?6?(?3)n?1，③ ①?②得，an?1?bn?1?an?bn??2，④
6?(?3)n?1?2?3?(?3)n?1?1， ……………………………………………8分 ③?④得，an?2an?mam?43?(?3)n?1?1?m3?(?3)m?1?3??代入，得，
an?1?mam?1?43?(?3)n?1?m3?(?3)m?3所以[3?(?3)n?1?1?m][3?(?3)m?3]?[3?(?3)n?1?m][3?(?3)m?1?3]，
整理得，(m?1)(?3)m?3?(?3)n?0，所以m?1?(?3)n?m?1，……………………………10分 由m是不超过100的正整数，可得2≤(?3)n?m?1≤101，所以n?m?1?2或4， 当n?m?1?2时，m?1?9，此时m?8，则n?9，符合题意； 当n?m?1?4时，m?1?81，此时m?80，则n?83，符合题意． 故使
an?ma?4?m成立的所有数对(m,n)为(8,9)，(80,83)．………………………16分
an?1?mam?1?4E 数学Ⅱ部分
C F
A
O
D 21．A． 连接OD，BC，设BC交OD于点M．
因为OA=OD，所以?OAD=?ODA； 又因为?OAD=?DAE，所以?ODA=?DAE
所以OD//AE；又 因为AC?BC，且DE?AC，所以BC//DE．
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B
所以四边形CMDE为平行四边形，
所以CE?MD，…………………………………………………………………………………5分 由
AC335?，设AC?3x，AB?5x，则OM?x，又OD?x， AB52253x?x?x，所以AE?AC?CE?4x， 22AFAE4x8=??． ………………………………………………10分
5FDODx52?1??可得， ?1??所以MD?因为OD//AE，所以
B． 由矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α1＝??ab??1??1?＝?1?21???1???1?，即a－b＝－1；……………………………………………………3分
???????3?由矩阵A属于特征值4的一个特征向量为α2＝??，
?2??ab??3??3?＝，即3a+2b＝12，…………………………………………………6分 4??????21??2??2??a?2?23?解得?.即A＝??，…………………………………………………………………8分 b?321???可得?
1?2? ……………………………………………………………10分 ?1??2??x2y2C．（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得??1，
259因为a?5,b?3,c?4,则点F的坐标为(4,0).
因为直线l经过点(m,0)，所以m?4.………………………………………………4分 （2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：
?1??4-1
所以A逆矩阵A是??3??4(9cos2??25sin2?)t2?72tcos ??81?0.……………………………………………6分
设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2，则
FA?FB?|t1t2|=
8181?. 2229cos??25sin?9?16sin?当sin ??0时，FA?FB取最大值9；
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当sin ???1时，FA?FB取最小值D． 因为x，y，z都是为正数，所以
同理可得
81. ……………………………………………10分 25xy1xy2??(?)≥． ………………………………4分 yzzxzyxzyz2zx2?≥，?≥，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立． zxxyxxyyzyxyz111??≥??．………10分 yzzxxyxyz将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得
22．（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．
111
则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），
222111
PNAM?从而PN＝（－λ，，－1），AM＝（0,1，），
222111
＝（－λ)×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM；…4分
222
（2）平面ABC的一个法向量为n＝AA． 1＝（0,0,1）
设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），
??1?1??x?y?z?0????1?m?NP?0?22??由（1）得MP＝（λ，－1，）．由?，得?
2
??m?MP?0??x?y?1z?0??22??1?y?x?3?解得?，令x?3，得m??3,2??1,2?2??． ………………………………8分
21????z??x?3?因为平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°， 所以cosm,n?|2(1－λ)|21m?n＝＝，解得λ＝－，
29＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)22mn1
故点P在B1A1的延长线上，且A1P＝．……………………………………………………10分
223．⑴ 因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3，
所以P3?1??3；………………………………………………………………………………2分 ⑵
?P?k??P?0??P?1??P?2??P?3??P?4?
444444k?04高三数学 第 12 页 共 13 页
11112=C04C3C3+C4C2+C4+0+1=9+8+6+0+1=24；……………………………………………4分
k⑶ 把数列1,2,???,n中任取其中k个元素位置不动， 则有Cn种；其余n?k个元素重新排列，k并且使其余n?k个元素都要改变位置，则有Pn?k??CnPn?k?0?，………………………6分
nn故
?kP?k???kCP?0?，又因为kCnknn?kk?0k?0knk?1?nCn?1，
所以
?kP?k???kCP?0??n?Cnknn?kk?0k?0k?0nnn?1kn?1n?k?1P?0??n?Pn?1?k?.，……………………8分
k?0n?1令an??kP?k?,则ank?0nn?nan?1,且a1?1.
于是a2a3a4???an?1an?2a1?3a2?4a3?????nan?1， 左右同除以a2a3a4???an?1，得an?2?3?4?????n?n! 所以
?kP?k??n! ………………………………………………………………………10分
nk?0n
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