浙江专用2018版高考数学复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本

不等式及其应用教师用书

1．基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a＋b≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤?(4)

2

2

2

baab?a＋b?2 (a，b∈R)．

??2?

≥?

a2＋b2?a＋b?2

? (a，b∈R)． ?2?

以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为

a＋b2

，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个

正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

4【知识拓展】

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立?

p2

f(x)min>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)

(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立?f(x)max>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)

f(x)min

(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立?f(x)>A的解集为D； 不等式f(x)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋1

x的最小值是2.( × )

(2)函数f(x)＝cos x＋4π

cos x，x∈(0，2)的最小值等于4.( × )

(3)“x>0且y>0”是“x＋yyx≥2”的充要条件．( × ) (4)若a>0，则a3

＋1a2的最小值为2a.( × )

(5)不等式a2＋b2

≥2ab与

a＋b2

≥ab有相同的成立条件．( × )

(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )

1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82 答案 C

解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y2

≥xy，

即xy≤(

x＋y2

2

)＝81，

当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.

2．(教材改编)已知x>0，a>0，当y＝x＋ax取最小值时，x的值为( A．1 B．a C.a D．2a 答案 C

解析 y＝x＋ax≥2a，

)

当且仅当x＝即x＝a时，

axay＝x＋有最小值2a.

x3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) 11A.≤ ab4C.ab≥2 答案 D

11

解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，≥，选项A，

ab411a＋b4222

C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a＋b＝(a＋b)－2ab＝16－2ab≥8，选项D

11

B.＋≤1

ab2

D．a＋b≥8

2

ababab成立．

4．(2016·宁波期末)若正数x，y满足x＋4y＋x＋2y＝1，则xy的最大值为________． 答案

2－3

4

2

2

解析 由题意得

1＝x＋4y＋x＋2y≥4xy＋22·xy， 则xy≤

6－26－222－3

，则xy≤()＝. 444

2

2

题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式

例1 (1)已知0

(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

44x－5

x2＋2

(3)函数y＝(x>1)的最小值为________．

x－1

2

答案 (1) (2)1 (3)23＋2

3

113x＋4－3x24

解析 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]＝，

33232

当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．

3

5

(2)因为x<，所以5－4x>0，

4

11

则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.

4x－55－4x1

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

5－4x1

故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.

4x－5

x2＋2x2－2x＋1＋2x－2＋3(3)y＝＝

x－1x－1

＝

x－1

2

＋2x－1＋3

x－1

＝(x－1)＋

3

＋2≥23＋2. x－1

3

，即x＝3＋1时，等号成立． x－1

当且仅当(x－1)＝

命题点2 通过常数代换法利用基本不等式

11

例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

ab答案 4

解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， 11a＋ba＋bba∴＋＝＋＝2＋＋

ababab≥2＋2引申探究

ba111

·＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立． abab2

11

1．若条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值．

ab11a＋ba＋bba解 (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋)

ababab＝5＋2(＋)≥5＋4＝9. 1

当且仅当a＝b＝时，取等号．

2

11

2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值．

baabab1111

解 由＋＝4，得＋＝1.

ab4a4b111ba1

∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2 4a4b24a4b21

当且仅当a＝b＝时取等号．

2

ba·＝1. 4a4b