解析 (1)由题意可得a>0，
①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号； ②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2a＋2， 当且仅当x＝－a时取等号，
axax?2－2a＝0，所以?
?2a＋2＝4，
解得a＝1，故选C.
6
5
4
(2)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q＝a1q＋2a1q， 所以q－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)． 因为aman＝4a1，所以q所以2
m＋n－2
4
2
m＋n－2
＝16，
＝2，所以m＋n＝6.
14114所以＋＝(m＋n)(＋) mn6mn1n4m＝(5＋＋) 6mnn4m3
·)＝. mn2n4m当且仅当＝，即m＝2，n＝4时等号成立，
mn1
≥(5＋2 6
143故＋的最小值等于. mn2
8．利用基本不等式求最值
12
典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．
xy3
(2)函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________．
x错解展示
12
解析 (1)∵x>0，y>0，∴1＝＋≥2 2
xyxy，
∴xy≥22，∴x＋y≥2xy＝42， ∴x＋y的最小值为42.
33
(2)∵2x＋≥26，∴y＝1－2x－≤1－26.
xx3
∴函数y＝1－2x－(x<0)的值域为(－∞，1－26]．
x答案 (1)42 (2)(－∞，1－26] 现场纠错
解析 (1)∵x>0，y>0， 12
∴x＋y＝(x＋y)(＋)
xyy2x＝3＋＋≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，
xy∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22. 33
(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2
xx3
－2x·＝1＋26，当且仅
－x当x＝－
63
时取等号，故函数y＝1－2x－(x<0)的值域为[1＋26，＋∞)． 2x答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)
纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( ) A．a＋b≥2ab C．|＋|≥2 答案 C
解析 因为和同号，所以|＋|＝||＋||≥2.
2．设非零实数a，b，则“a＋b≥2ab”是“＋≥2”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 答案 B
2
2
B.＋≥2 D．a＋b>2ab
2
2
abbaabbaabbaabbaabbaabba
解析 因为a，b∈R时，都有a＋b－2ab＝(a－b)≥0， 即a＋b≥2ab，而＋≥2?ab>0，
所以“a＋b≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件，故选B.
11xy3．(2016·余姚模拟)已知x>0，y>0，lg 2＋lg 8＝lg 2，则＋的最小值是( )
x3yA．2 B．22 C．4 D．23 答案 C
解析 因为lg 2＋lg 8＝lg 2，所以x＋3y＝1， 11113yx所以＋＝(＋)(x＋3y)＝2＋＋≥4，
x3yx3yx3y3yx11
当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号．
x3y264．(2016·平顶山至阳中学期中)若函数f(x)＝x＋( ) A．1＋2 C．3 答案 C
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋当x－2＝
1
＋2≥2 x－2B．1＋3 D．4
1
(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于x－2
xy2
2
2
2
222
abbaabbax－2×＋2＝4，当且仅
x－2
1
1
(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C. x－2
5．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( ) A.
2
B．22 C.2 D．2 2
答案 D
解析 ∵x>0，y>0，x＋2y≥22xy， ∴4xy－(x＋2y)≤4xy－22xy， ∴4≤4xy－22xy，
即(2xy－2)(2xy＋1)≥0， ∴2xy≥2，∴xy≥2. 12
*6.设a>b>c>0，则2a＋＋
aba12
－10ac＋25c的最小值是( ) a－bA．2 B．4 C．25 D．5
答案 B 12
解析 2a＋＋
aba12
－10ac＋25c a－b122
＝(a－5c)＋a－ab＋ab＋＋
abaa1
a－b1
a－b12
＝(a－5c)＋ab＋＋a(a－b)＋
ab≥0＋2＋2＝4，
当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1时，等号成立， 即取a＝2，b＝
22
，c＝时满足条件． 25
1119
*7.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是( )
aba－1b－1A．1 B．6 C．9 D．16 答案 B
11a19
解析 ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，所以＋＝
aba－1a－1b－1191
＋＝＋9(a－1)≥2a－1aa－1
－1a－1
1
·9a－1a－1
＝6，当且仅当
1
＝9(a－1)，即aa－1
4
＝时等号成立，所以最小值为6.故选B. 3
π14
8．(2016·浙江省五校高三第二次联考)对任意的θ∈(0，)，不等式2＋2≥|2x2sinθcosθ－1|成立，则实数x的取值范围是( ) A．[－3,4] 35
C．[－，]
22答案 D 解析 因为
2
B．[0,2] D．[－4,5]
14
＋ 22
sinθcosθ2
sinθ＋cosθ4＝＋2
sinθ2
2
sinθ＋cosθ 2
cosθcosθ4sinθ·＋5＝9， 22
sinθcosθ2222
cosθ4sinθ＝＋＋5≥2× 22
sinθcosθ2
2
cosθ4sinθ2
当且仅当2＝，即tan θ＝时等号成立， 2
sinθcosθ2所以|2x－1|≤9，解得－4≤x≤5，故选D.
9．(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x＋2xy＋4y＝6，则z＝x＋4y的取值范围为
2
2
2
2
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