实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4） 本科

一、填空题

1.设A,B为两个集合,则A?B__A?Bc.

n2.设E?R,如果E满足E??E(其中E?表示E的导集),则E是

G （a,b）3.若开区间(?,?)为直线上开集G的一个构成区间,则(?,?)满(i)

(ii)a?G,b?G

4.设A为无限集.则A的基数A__a(其中a表示自然数集N的基数) 5.设E1,E2为可测集,mE2???,则m(E1\\E2)__mE1?mE2.

6.设?fn(x)?为可测集E上的可测函数列,且fn(x)?f(x),x?E,则由______定理可知得,存在?fn(x)?的子列fnk(x),使得fnk(x)?f(x)n??a.e(x?E).

7.设f(x)为可测集E(?R)上的可测函数,则f(x)在E上的L积分值存在且|f(x)|在E上L可积.（填“一定”“不一定”）

8.若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数,则f(x)是[a,b]上的有 二、选择题 1．设E???x,0?0?x?1?，则（ ）

AmE?1BmE?0CE是R2中闭集 DE是R2中完备集

2．设f?x?，g?x?是E上的可测函数，则（ ）

A、E??xf?x??g?x???不一定是可测集B、E??xf?x??g?x???是可测集

C、E??xf?x??g?x???是不可测集D、E??xf?x??g?x???不一定是可测集

3．下列集合关系成立的是（）

A、(A\\B)?B?A?B B、(A\\B)?B?A C、(B\\A)?A?A D、B\\A?A

n4. 若E?R是开集，则 （ ）

??A、E的导集?E B、E的开核?EC、E?ED、E的导集?E

三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设f?x?是?a,b?上有界函数，且L可积，则（ ）

Af?x?在?a,b?上黎曼可积Bf?x?在?a,b?上可测

Cf?x?在?a,b?上几乎处处连续Df?x?在?a,b?上不一定连续

2. 设E?{[0,1]中的无理点},则()

A、E是可数集 B、E是闭集 C、E中的每个点均是聚点 D、mE?0 3. 若E(?R)至少有一个内点，则（）

A、mE可以等于０B、mE?0 C、E可能是可数集 D、E不可能是可数集 4．设E?[a,b]是可测集，则E的特征函数?E(x)是（） A、[a,b]上的符号函数 C、E上的连续函数 B、[a,b]上的可测函数 D、[a,b]上的连续函数

四、判断题

1. 零测集上的函数是可测函数. （ ） 2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ） 3. 任何无限集均含有一个可列子集 （ ） 4. 设E为可测集，则一定存在G?集G，使E?G，且m?G\\E??0. （ ） 五、定义题

1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？

2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？

3. 可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系？

4. ?a,b?上的有界变差函数与单调函数有什么关系？

**六、计算题

?sinx3?7. 设f?x?????x

8. 求limx?Px??0,1?\\P，P为康托集，求

?0,1??f?x?dx.

ln?x?n??xecosxdx.

n???n?0,n?

七、证明题

1．设fn(x),gn(x),fx(),gx(是)E上几乎处处有限的可测函数，且fn(x)?f(x)，

gn(x)?g(x)，则fn(x)?gn(x)?f(x)?g(x)

2．设f(x),g(x)是E上L?可积函数，则f2(x)?g2(x)在E上也是L?可积的

3．设f(x)是可测集E上的非负可测函数，如果?Ef(x)dx?0，则f(x)?0

4．证明等式：A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C)

a.e于E