2019最新高中数学第二章平面向量2-2平面向量的线性运算例题与探究

【2019最新】高中数学第二章平面向量2-2平面向量的线性运算例

题与探究

典题精讲

例1已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.

思路解析：因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向. 解：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|； (2)当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|； 当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|； 当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.

绿色通道：解答本题可利用向量加法的三角形法则，作出图形辅助解答；关键是准确、恰当地进行分类，分别处理.

变式训练已知向量a，b，讨论|a-b|、|a|+|b|和||a|-|b||的大小. 思路解析：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a-b|=|a|+|b|=||a|-|b||； （2）当a，b为非零向量，且a，b不共线时，有|a|+|b|＞|a-b|＞||a|-|b||；（三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边的向量表示）

当a，b为非零向量，且a，b同向共线时，|a|+|b|＞|a+b|=||a|-|b||； 当a，b为非零向量，且a，b异向共线时，|a|+|b|=|a+b|＞||a|-|b||.

答案：|a|+|b|≥|a-b|≥||a|-|b||，结合|a|+|b|≥|a+b|≥||a|-|b||因此有|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||. 例2化简下列各式： （1）PB?OP?OB； （2）

211［(4a-3b)+b-(6a-7b)］. 334思路分析：对于（1），可以利用三角形法则对向量进行分解；对于（2）利用向量线性运算的运算法则化简.

解：（1）PB+OP+OB=PO+OB+OP+OB(PB=PO+OB) =PO+OP+OB+OB=0+2OB=2OB.

211［(4a-3b)+ b- (6a-7b)］ 3342137= (4a-3b+b-a+b) 33242317=［（4-）a+(-3++)b］ 32342511=(a-b)

3212511=a-b.

318（2）

绿色通道：向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则，另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示，使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子.

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变式训练(2006全国高考卷Ⅰ，理9)设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果向量b1、b2、b3，满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1,2,3，则（ ） A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0 C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0

思路解析：向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.向量a1、a2、a3顺时针旋转30°后与b1、b2、b3同向，且|bi|=2|ai|，∴b1+b2+b3=0. 答案：D

例3已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.

思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2是共线向量，所以一定存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立.

解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，

∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2). ∴(k-λ)e1=(λk-1)e2. ∵e1和e2不共线， ∴??k???0∴k=±1.

?k??1.绿色通道：本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.

变式训练若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.

思路分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.

解：记3m+2n=a ① m-3n=b ② 3×②，得3m-9n=3b. ③ ①-③，得11n=a-3b.

13a-b. ④ 111132将④代入②,有m=b+3n=a+b.

1111∴n=

例4一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.

思路分析：本题要求的是速度，而速度是向量，因此可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.

解：如图2-2-6，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸方向行驶的速度，OC表示船的实际速度，∠AOC=30°，|OB|= 5 km/h，

图2-2-6

∵四边形ABCD为矩形，

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∴|OA|=|AC|cot30°=53， |OC|=

|OA|53=10. ?cos30?32绿色通道：用向量法解决物理问题的步骤为：(1)用向量表示物理量；(2)进行向量运算；(3)回扣物理问题，解决问题.

变式训练一架执行救灾任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行.已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A、C两地相距300 km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离.

思路分析：首先根据题意作出图形，如图2-2-7，然后由A地确定B、C两地的方位与距离.

图2-2-7

解：根据题意和图形，可知∠BAC=90°，

|AB|=|AC|=300 km，则可得|BC|=3002km；

又由于∠ABC=45°,A地在B地东偏南60°的方向处，可知C地在B地东偏南15°的方向处. 所以飞机从B地向C地飞行的方向为C地在B地东偏南15°的方向处.B、C两地的距离为3002 km.

问题探究

问题1已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连.以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.试探究A1、A2、A3是平面内不共线的三点，则A1A2?A2A3?A3A1等于什么？对于平面上不共线的四点A1、A2、A3、A4上述结论是否成立？A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?AnA1等于什么？

导思：求多个向量的和，需要连续使用三角形法则，这也可以看作是应用了多边形法则.对向量求和的多边形法则应明确：（1）多边形法则适用于两个或两个以上的向量和的计算，三角形法则是多边形法则的特殊情形；（2）n个向量的和的结果仍是一个向量；（3）法则的要领是“头尾相接，头是头，尾是尾”，与向量加法的三角形法则相同. 探究：由平行四边形法则可知A1A2?A2A3?A1A3, ∴A1A2?A2A3?A3A1=0.

类似的，根据向量求和的多边形法则有

A1A2?A2A3?A3A4?A1A4，

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即A1A2?A2A3?A3A4?A1A4=0.

对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了,即A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?AnA1=0.

问题2三人夺球的游戏的规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜.现有甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，均为a N，试探究丙需要多少力量小球才静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球有可能静止吗？

导思：互为相反向量的两个向量的和为0,在物理中可以理解成两个力的合力为0.解决本题首先要审好题，能从题目中提炼出数学模型，进而利用数学知识解决，这是解决文字题或应用题最关键的一个环节.

探究：本题主要考查向量加法法则及相反向量的定义.设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a、b、c,根据题意，可知a、b、c三个向量两两夹角为120°，可先计算a+b，由于|a|=|b|，易求|a+b|=|c|，且a+b平分a、b所成的角，即方向与c相反，要使小球不动，则c=-（a+b），所以丙需要与甲、乙相同的力量，小球就会静止.若甲、乙两人力量不等，根据向量加法的平行四边形法则，a+b的方向不可能与c相反，也就是说a+b与c不可能是相反向量，所以

小球不可能静止.

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