在Rt△BMN中，BM=（3）如图3，
=．
由（1）可知∠AME=∠B=60°，
∴∠AMC=120°，点M的轨迹是一段弧，它所对的弦AC对的圆心角120°， ∴△AMC的AC边上的高为M到AC的距离，最大距离即为弓形的高IG， 在Rt△AOI中，AI=3，∠AOI=∠AOC=60°， ∴OA=2∴IG=
，OI=，
=3
．
，
∴S△AMC最大=×AC×IG=×6×
24．已知如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）． （1）求b、c的值；
（2）如图，点D与点C关于点O对称，过点B的直线交y轴于点N，交抛物线于另一点M．若∠DBM=∠ACO，求
的值；
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（3）如图，在（2）的条件下，点P是y轴上一点，连PM、PB分别交抛物线于点E、F，探究EF与MB的位置关系，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
4）P1）（2）取点Q（1，，（0，，如图1中，作QR⊥y轴于R，连接PQ，则RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，由△POR≌△BPO≌△CAO，推出BQ与y轴的交点是N，与抛物线的交点是M，利用方程组即可解决问题．
（3）结论：EF∥BM或EF与BM重合．设P（0，m），求出直线PM、PB，再利用方程组求出点E、F坐标，求出直线EF的解析式即可解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴有方程组∴b=﹣2，c=﹣3．
（2）∵抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3， ∴点C坐标（0，﹣3），OA=1，OB=3，OC=3， ∵点D与点C关于点O对称
∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠2+∠4=45°，
取点Q（1，4），P（0，1），如图1中，作QR⊥y轴于R，连接PQ，则RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，
∴△POR≌△BPO≌△CAO， ∴∠1=∠2=∠α，PQ=PB，
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，解得，
∵∠6+∠2=90°，∴∠1+∠6=90°， ∴∠5=90°，∵PQ=PB，
∴∠3+∠4=45°，∵∠2+∠4=45°， ∴∠DBQ=∠3=∠2=∠α=∠ACO，
∴由此BQ与y轴的交点是N，与抛物线的交点是M， ∵B（3，0），Q（1，4），设直线BQ为y=kx+n，则∴直线BN的解析式为y=﹣2x+6， ∴N（0，6）， 由
解得
或
，
，解得
，
∵B（3，0），∴M（﹣3，12）， 作MG⊥y轴于G，
∵N（0，6），M（﹣3，12），B（3，0）， ∴MG=OB=3，NO=NG=6， ∴Rt△MNG≌△Rt△BNO， ∴MN=NB ∴
=1．
（3）结论：EF∥BM或EF与BM重合． 理由：设P（0，m）， ∵M（﹣3，12），B（3，0）， ∴可得直线PM的解析式为y=
x+m，直线PB的解析式为y=﹣x+m，
由消去y得3x2+（6﹣m）x﹣3（m+3）=0，
[3x﹣（m+3）]（x+3）=0， ∴x=﹣3或
，
x=﹣3时，y=12， x=
时，y=
，
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∴方程组的解为或，
∴E（，），
由解得或，
∴F（﹣，），
设直线EF解析式为y=ax+t，
则，
∴∴a=﹣2，
=﹣，
∴直线EF的解析式为y=﹣2x+t， ∵直线BM的解析式为y=﹣2x+6， ∴t≠6时，EF∥MB， t=6时，直线EF与BM重合．
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