第十九讲平面几何中的几个著名定理

伦公式

例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线，E在BC上，BE=CD．求证：

AE2-AD2=(c-b)2．

证 为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得

所以

因为AD是角平分线，所以

于是

4．托勒密定理

托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边

的乘积之和等于它的对角线的乘积．

证 设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设 ∥BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE．

又

而 S四边形ABCD=S四边形BCDE， 所以

即

(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα． 由于

∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC， 所以

AD×BC+AB×CD=AC×BD．

说明 (1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，

AB×CD+AD×BC≥AC×BD．

当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立．”

由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．

(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法．还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读

者自行完成．

例6 如图3－108．过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：

AP×AB+AQ×AD=AR×AC．

证 连结PQ，PR，QR．在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得

AP×QR+AQ×PR=AR×PQ．

又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以△PQR∽△CAB，于是

设上面的比值为k，并考虑到BC=AD，有

QR=k·AB，PR=k·AD，PQ=k·CA，于是可推得

AP×AB+AQ×AD=AR×AC．

例7 如图3－109．等边△ABC内接于△XYZ，A在YZ上，B在ZX上，C在XY上，证明：

证 对四边形ABXC运用托勒密定理，得

AX·BC≤BX·AC+XC·AB，

所以

AX≤BX+XC．

同样地

BY≤CY+YA，CZ≤AZ+ZB．

将上述三式相加就得所要证明的不等式．

等号成立的充分必要条件是X，Y，Z在△ABC的外接圆上，但∠ZBX，∠XCY，∠YAZ都等于π，因此等号成立只能是X，Y，Z分别与C，A，B重合的情

况．

平面几何中的著名定理，除了上述所介绍的梅内劳斯定理、塞瓦定理、斯台沃特定理、托勒密定理外，还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫莱定理等等．这里，限于篇幅，因此不作讨论．

练习十九

1．已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D．求证：D，E，F共线．

2．过△ABC的三个顶点A，B，C分别作△ABC的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB的延长线交于D，E，F．求证：D，E，F三点共线．

3．在△ABC的边BC上任取一点D，设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB，AC于F和E．求证：AD，BE，CF相交于同一点．

4．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，DC=3，BC=7，DA=8，求AB，BD和AC的长．

PA(PA+PC)=PB(PB+PD)．

6．设P是等边三角形ABC所在平面上的任意一点，那么根据P落

PC+PA=PB或PC+PA＞PB．