2012-2013学年北京市海淀区高三第一学期期中考试（数学）（理科）2012.11 - 带答案

所以T?2π?π ??????9分 2π3π（2kπ?,2kπ?） ，(k?Z) ??????10分 又y?sinx的单调递减区间为

22ππ3π所以令2kπ??2x??2kπ? ??????11分

242π5π ??????12分 解得kπ??x?kπ?88π5π) ，(k?Z) ??????13分 所以函数f(x)的单调减区间为(kπ+,kπ?88

17．（本小题满分13分）

解：（I）在?ABC中，因为A?B?C?π 所以tanC?tan[π?(A?B)]??tan(A?B) 因为tan(A?B)?7，所以tanC??7 ? 又??tanC?sinCcosC??7 ??sin2C?cos2C?1解得|sinC|?7210 因为C?(0,π),

所以sinC?7210 （II）因为A?π4，所以tan(A?B)?1?tanB1?tanB?7 解得tanB?34 因为C?(0,π), 所以sinB?35 由正弦定理

bsinB?csinC，代入得到c?7 高三数学（理科）试题 第页

??????1分

??????3分 ??????4分

??????5分 ??????6分 ??????8分 ??????9分 ??????11分 5

所以S1?ABC?2bcsinA ?12?32?7?sinπ4?212 ??????13分

18.（本小题满分13分）

解：（I）作PQ?AF于Q，所以PQ?8?y,EQ?x?4 ??????2分

在?EDF中，EQPQ?EFFD 所以

x?48?y?42 ??????4分 所以y??12x?10，定义域为{x|4?x?8} ??????6分 (II) 设矩形BNPM的面积为S，则

S(x)?xy?x(10?x12)??2(x?10)2?50 ??????9分

所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x?10

所以当x?(4,8)，S(x)单调递增 ??????11分 所以当x?8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米 ??????13分

19.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为 f?(x)?x2?(2a?1)x?(a2?a)

?(x?a)[x?(a?1)]

??????2分

令f?(x)?0，得x1?(a?1)，x2?a 所以f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x (??,a) a (a,a?1) a?1 (a?1,??) f'(x) ? 0 ? 0 ? 高三数学（理科）试题 第页

6

f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? ??????4分 所以a?1 ??????5分

（II）因为f?(x)?(x?2a?121)? ??????6分 24

因为?m?R，直线y?kx?m都不是曲线y?f(x)的切线

所以f?(x)?(x?2a?12)2?14?k对x?R成立 只要f?(x)的最小值大于k

所以 k??14 因为a??1,所以a?1?0,

当a?1时，f?(x)?0对x?[0,1]成立 所以当x?1时，f(x)取得最大值f(1)?a2?16 当0?a?1时， 在x?(0,a)时，f?(x)?0，f(x)单调递增

在x?(a,1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减

所以当x?a时，f(x)取得最大值f(a)?13123a?2a 当a?0时， 在x?(0,1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减

所以当x?0时，f(x)取得最大值f(0)?0 当?1?a?0时，在x?(0,a?1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减 在x?(a?1,1)时，f?(x)?0，f(x)单调递增

又f(0)?0,f(1)?a2?16，

当?1?a??66时，f(x)在x?1取得最大值f(1)?a2?16

当?66?a?0时，f(x)在x?0取得最大值f(0)?0 当a??66时，f(x)在x?0，x?1处都取得最大值0. 综上所述， 当a?1或?1?a??66时，f(x)取得最大值f(1)?a2?16

高三数学（理科）试题 第页??????7分 ??????8分 ??????9分

10分

??????11分 ??????14分 7

(III)

??????

1312当0?a?1时，f(x)取得最大值f(a)?a?a

32当a??当?6时，f(x)在x?0，x?1处都取得最大值0 66?a?0时，f(x)在x?0取得最大值f(0)?0. 620.（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)因为 3?1?1， 所以{1,3,4} 不具有性质P.

因为 2=1?2, 3=1+2, 6=3?3，所以{1,2,3,6}具有性质P ??????4分 (Ⅱ)因为

A={a1,a2,???,an}具有性质P：

即对任意的k(2?k?n), ?i, j(1?i?j?n)，使得ak=ai+aj成立， 又因为1?a1

即an?2an?1，an?1?2an?2, an?2?2an?3,..., a3?2a2, a2?2a1 ??????6分 将上述不等式相加得

a2+???+an?1+an?2(a1+a2+???+an?1)

所以an?2a1+a2+???+an?1(Ⅲ)最小值为147.

首先注意到a1=1，根据性质P,得到a2=2a1=2

所以易知数集A的元素都是整数.

构造A={1,2,3,6,9,18,36,72}或者A={1,2,4,5,9,18,36,72}，这两个集合具有性质P, 此时元素和为147.

下面，我们证明147是最小的和

假设数集A={a1,a2,???,an}(a1

??????9分

?ai=1ni?147最小（存在性显然，因为满足

?ai=1i?147的数集A只有有限个）.

第一步：首先说明集合A={a1,a2,???,an}(a1

高三数学（理科）试题 第页

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