专题13 计数原理
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 【答案】A
313
【解析】由题意得x的系数为C4?2C4?4?8?12，故选A．
B．16 C．20 D．24
【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式(2?x)9的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________． 【答案】162 5
r【解析】由题意，(2?x)9的通项为Tr?1?C9(2)9?rxr(r?0,1,29)，当r?0时，可得常数项为
0T1?C9(2)9?162；若展开式的系数为有理数，则r=1,3,5,7,9，有T2, T4, T6, T8, T10共5个项．故
答案为：162，5．
【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．
n23．【2019年高考江苏卷理数】设(1?x)?a0?a1x?a2x?2?anxn,n?4,n?N*．已知a3?2a2a4．
（1）求n的值；
n（2）设(1?3)?a?b3，其中a,b?N*，求a2?3b2的值．
【答案】（1）n?5；（2）?32．
n0122【解析】（1）因为(1?x)?Cn?Cnx?Cnx?nn?Cnx，n?4，
所以a2?Cn?n(n?1)n(n?1)(n?2),a3?C3?， n26n(n?1)(n?2)(n?3)a4?C4?． n2422因为a3?2a2a4，
所以[n(n?1)(n?2)2n(n?1)n(n?1)(n?2)(n?3)]?2??，
6224解得n?5．
（2）由（1）知，n?5．
(1?3)n?(1?3)5
022334455 ?C5?C13?C(3)?C(3)?C(3)?C(3)55555?a?b3．
解法一：
024135*因为a,b?N，所以a?C5?3C5?9C5?76,b?C5?3C5?9C5?44，
从而a2?3b2?762?3?442??32． 解法二：
022334455 (1?3)5?C5?C15(?3)?C5(?3)?C5(?3)?C5(?3)?C5(?3)022334455． ?C5?C13?C(3)?C(3)?C(3)?C(3)55555*因为a,b?N，所以(1?3)5?a?b3．
因此a2?3b2?(a?b3)(a?b3)?(1?3)5?(1?3)5?(?2)5??32．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．
1??4．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式?2x??(n?N*)的展开式中第
x??2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则x3的系数为 A．14 【答案】C
r【解析】二项展开式的第r?1项的通项公式为Tr?1?Cn?2x?n?rnB．?14 C．240 D．?240
?1????，
x??12r由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：Cn:Cn?2:5．即解得n?6或n?0（舍去）．所以T令6?2n2?，
n(n?1)5r?1?C2r66?r??1?rx36?r2，
3226?2r?3，解得r=2，所以x3的系数为C62??1??240．故选C． 2【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
5．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）】已知(1?)(2x?)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A．?80 【答案】D
【解析】令x?1，得展开式的各项系数和为(1?)(2?)?1?a，
5ax1x5B．?40 C．40 D．80
a111?1?a?2，\\a=1，
1??1??1??1?1?1??a????1???2x????1???2x????2x????2x??，
x??x??x??x?x?x??x??1??所求展开式中常数项为?2x??的展开式的常数项与x项的系数和，
x??1??r5?rr1rr5?2rT?C(2x)?(?1)()?(?1)r25?rC5x， 展开式的通项为2x?r?15??xx??令5?2r?1得r=2；令5?2r?0，无整数解，
2∴展开式中常数项为8C5?80，故选D．
555555【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二
rn?rr项展开式的通项公式Tr?1?Cnab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数
和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．
1??6．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】?x??展开式的常数项为 3x??A．?56 【答案】D
48?r1r1??r8?rrr【解析】?x?展开式的通项公式为Tr?1?C8?x?(?3)?C8?(?1)?x3， ?3xx??8B．?28 C．56 D．28
8令8?46?(?1)6?28，故选D． r?0，得r?6，∴所求常数项为：C83【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．
7．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试】安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲，乙，
丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A．30种 【答案】C
22【解析】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：C6C4?90种安排方法， 12其中A照顾老人甲的情况有：C5C4?30种， 12B照顾老人乙的情况有：C5C4?30种，
B．40种 C．42种 D．48种
A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有：C4C3?12种，
∴符合题意的安排方法有：90?30?30?12?42种，故选C．
【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解． 8．【上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题】二项式(2x?的常数项为第_________项． 【答案】4
6–r
【解析】由二项式展开式的通项公式得：Tr+1?C6（2x）（?r1116)展开式2x1rrr6–2r6–2r
）＝C6（–1）2x， 2x令6–2r＝0，得r＝3，∴T4为常数项，即二项式(2x?16)展开式的常数项为第4项，故答案为：4． 2x【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．
9．【河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用．数字作答） ．．．．【答案】660
223【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有C6C4A3种，
3322333若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有C6A3种，则不同的分配方案共有C6C4A3+C6A3?660种，
故答案为：660．
【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题． 10．【上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题】已知
23nn（1?x）?（1?x）?（1?x）???（1?x）?a0?a1x?a2x2???anx（n?N*），且
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