带电粒子在有界磁场中的运动（含答案）

带电粒子在有界磁场中的运动

带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。下面按照有界磁场的形状对这类问题进行分类解析。

1、一个基本思路：定圆心、找半径、画轨迹、求时间

（1）圆心的确定：因为洛伦兹力F指向圆心，根据F?v画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画其延长线，两延长线的交点即为圆心。或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。

v2mv（2）半径的确定和计算：qvB=m， R=

RBq或是利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）。

并注意以下两个重要几何特点：

①粒子速度的偏向角（φ）等于回旋角（α），并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（如图所示），即φ=α=2θ=ωt。

②相对的弦切角（θ）相等，与相邻的弦切角（θ′）互补，即θ+θ′=180°。 （3）粒子在磁场中运动时间的确定：利用回旋角（即圆心角α）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式T?2?m?，t?T或qB2?t?R?。可求出粒子在磁场中的运动时间。 v2、一个重要结论

如右图， 带电粒子以速度v指向圆形磁场的圆心入射，出磁场时速度3、一个重要方法

R

r v O v 方向的反向延长线肯定经过圆形磁场的圆心

对于一些可向各个方向发射的带电粒子进入有边界的匀强磁场后出射

问题，可以用假设移动圆法：假设磁场是足够大的，则粒子的运动轨迹是一个完整的圆，当粒子的入射速度方向改变时，相当于移动这个圆。

当带电粒子在足够大的磁场中以速度v向某一方向射出时，其运动轨迹都是一个圆；若射出粒子的初速度方向转过θ角时，其运动轨迹相当于以入射点为轴，直径转动θ得到的圆的轨迹，如图所示；用这种方法可以解决： v )θ v a.带电粒子在磁场中在同一点向各个方向射出的问题。

A b.粒子在不同的边界射出的问题。

θ(

【例1】 在以坐标原点O为圆心，半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速率v沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。

（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷

q； m（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

点拔：（1）粒子进入磁场后受哪些力？做什么性质的运动？ （2）如何确定粒子在磁场中运动的半径、圆心？

【例2】 匀强磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v,方向沿x轴正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O点的距离为L，如图所示，不计重力的影响，求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

点拔：（1）粒子做圆周运动的圆心位置大体在哪里？P点在磁场里还是在磁场外？能否在磁场边界上？

（2）粒子离开磁场后做什么运动？该运动轨迹与粒子在磁场中的圆周运动轨迹有什么几何关系？

带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动

【例3】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的A4 夹角为60o。一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ

Ⅰ 区的边缘点A1处沿与A1A3成30o角的方向射入磁场，随后该粒

60o 30o A3 A1

子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射

Ⅱ 出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。

A2 【例4】半径为r?10cm的匀强磁场区域边界在y轴右边跟y 轴相切于坐标原点O，磁感强度B?0.332T，方向垂直纸面向

?27?19里．在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为v?3.2?10m/s的粒子．已知?粒子质量m?6.64?10kg，电量q?3.2?10C，试画出?粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出?粒子通过磁场空间的最大偏角．

带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动 匀强磁场的边界是矩形

带电粒子以初速度v0垂直于磁感线射入匀强磁场时，v0和磁场边界可能垂直，也可能不垂直（如图1、如图2），匀强磁场的磁感线垂直于纸面，匀强磁场仅存在于矩形区域ABCD内。 1、v0和边界垂直．如图1所示，v0垂直于边界AD．只讨论两种特殊情况．

（1）带电粒子从CD边垂直射出磁场，如图1（a）应满足：AB＞r，MD=r．带电粒子在磁场中的运动轨道为四分之一圆周，在磁场中运动了四分之一周期．

6 （2）带电粒子从AD边垂直射出磁场，如图1（b）应满足：AB＞r，MD＞2r．带电粒子在磁场中的运动轨道为半个圆周，在磁场中运行了半个周期．

2、v0和边界不垂直：图2中，两个质量为m、带电量为q、初速度大小为v0的完全相同的带电粒子，从同一点M分别沿着与边界AD夹α、β（=π－α）角的方向射入匀强磁场，也只讨论两种特殊情况．

（1）带电粒子从CD边垂直射出磁场，如图2（a）．应满足：AB＞r（1＋cosα）、AM＞r（1－sinα）、MD=rsinα．以AD为

=2r，据此可求带电粒子在磁场中的轨道半径及两粒子在磁场中运动的时间和（半个周期）。 （2）带电粒子从AD边射出磁场，如图2（b）所示，应满足： AB＞r(1＋cosα）， AD＞2r，且需 AM＞r（1－sinα），MD＞r（1 + sinα）．由几何知识可知，两带电粒子从同一点进入磁场，在磁场中沿不

的时间和等于它们做匀速圆周运动的周期．

L

??????v d???? 图３

【例5】如图3，长为L间距为d的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B，两板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v应满足什么条件。

带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动 【例6】在边长为2a的?ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距Ａ点3a的Ｄ点垂直

?ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速??率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．

??? ?AD

图5

带电粒子在“圆环形磁场区域”中的运动

【例7】据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图8所示的是一个截面为内径R1?0.6m、外径R2?1.2m的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的荷质比

C

Bq?4.8?107c/kg，磁场的磁感应强度B?0.4T，不计带电粒m子重力．

（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速

图8

度v的大小与它在磁场中运动的轨道半径r有关，试导出v与r的关系式．

（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A点射人磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．

（3）若氦核在平行于截面从A点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．

带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动

【例8】如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为

d?1.0?10?2m，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速

7度在0~3.2?10m/s范围内的电子，Ｑ为P点正上方B板上的一点，若

?3垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度B?9.1?10T，已知电子的质量m?9.1?10?31kg，电子电量e?1.6?10?19C，不计电子的重力和电子间

BQ?????????A图11 相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：

（1）沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．

（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中?角表示）与电子速度的大小v之间应满足的关系及各自相应的取值范围。

带电粒子在“单边磁场区域”中的运动

y/cm【例9】如图14所示，在真空中坐标xoy平面的x?0区域内，有磁感强度B?1.0?10T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的

?2P?p(10,0)点，有一放射源，在xoy平面内向各个方向发射速率opx/cm??254???v?1.0?10m/s的带正电的粒子，粒子的质量为m?1.6?10kg，

?????18电量为q?1.6?10C，求带电粒子能打到y轴上的范围．

????????【例10】如图所示，图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用。

（1）求所考查的粒子在磁场中的轨道半径； （2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。 带电粒子在“反向磁场区域”中的运动

图14

【例11】如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏x 上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建荧光屏 B B 立x轴。M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔

M N S1进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初K S2 O 速度可以忽略。

⑴当两板间电势差为U0时，求从小孔S2射出的电

子的速度v0。

⑵求两金属板间电势差U在什么范围内，电子不d d 能穿过磁场区域而打到荧光屏上。

⑶若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨

迹。

⑷求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系。