【新】版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正

小中高 精品 教案 试卷

4

答案 (1)A (2)－

5

解析 (1)依题意得sin α＝1－cosα＝cos(α＋β)＝±1－sin

22

25

， 5

α＋β

4＝±. 5

又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 4544因为>>－，所以cos(α＋β)＝－. 5555于是cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 4532525＝－×＋×＝.

555525π4

(2)∵cos(α－)＋sin α＝3，

65∴

334

cos α＋sin α＝3， 225

134π4

3(cos α＋sin α)＝3，3sin(＋α)＝3， 22565π4∴sin(＋α)＝，

65

7ππ4

∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－.

665

思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

α＋βα－β

(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，22α＋βα－βα－ββα

α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．

22222命题点2 三角函数式的变形

＋sin θ＋cos θ

例3 (1)化简：

2＋2cos θ

θθ

－cos 22

(0<θ<π)；

1＋cos 20°1

(2)求值：－sin 10°(－tan 5°)．

2sin 20°tan 5°

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小中高 精品 教案 试卷

θπ

解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，

22θ

∴cos >0，

2∴2＋2cos θ＝

4cos

2

θθ＝2cos . 22

θθ

又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos )

22θθθθ2θ

＝(2sin cos ＋2cos)(sin －cos ) 22222θ2θ2θ

＝2cos (sin－cos)

222θ

＝－2cos cos θ.

2

θ

－2cos cos θ

2

故原式＝＝－cos θ.

θ2cos

2

2cos10°cos 5°sin 5°

(2)原式＝－sin 10°(－) 2×2sin 10°cos 10°sin 5°cos 5°cos 10°cos5°－sin5°

＝－sin 10°· 2sin 10°sin 5°cos 5°＝

cos 10°cos 10°

－sin 10°·

2sin 10°1

sin 10°2

cos 10°cos 10°－2sin 20°

－2cos 10°＝

2sin 10°2sin 10°cos 10°－2sin30°－10°

2sin 10°cos 10°－2＝

13

cos 10°－sin 10°22

2sin 10°

2

2

2

＝＝

＝

3sin 10°3

＝. 2sin 10°2

引申探究

1＋sin θ－cos θ

化简：

θθ

sin －cos

22

2－2cos θ

(0<θ<π)．

θπθ

解 ∵0<<，∴2－2cos θ＝2sin ，

222

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6

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θθθ

又1＋sin θ－cos θ＝2sin 22cos 2＋2sin2

＝2sin θ2(sin θθ

2＋cos 2) 2sin θ2

sin θθsin θ2－cos

θ∴原式＝

2＋cos 2

2

＝－cos θ.

2sin

θ

2

(1)(2016·宿州模拟)若sin(π4＋α)＝1π

3，则cos(2

－2α)等于( A.42

B．－429

9

C.779

D．－9

(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α＋1tan α)·12sin 2α－2cos2

α等于( )

A．cos2

α B．sin2

α C．cos 2α

D．－cos 2α

(3)计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝ . 答案 (1)D (2)D (3)1

解析 (1)∵sin(π4＋α)＝13，∴cos(π4－α)＝1

3，

∴cos(π2－2α)＝cos 2(π17

4－α)＝2×9－1＝－9. (2)原式＝1sin αcos α·12sin 2α－2cos2

α

＝1－2cos2

α＝－cos 2α.

(3)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3sin 10°

cos 10°

) ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°

cos 10°

213

＝sin 50°×2cos 10°＋2

sin 10°cos 10° ＝2sin 50°cos 50°sin 100°cos 10°＝cos 10°＝cos 10°

cos 10°

＝1.

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)

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8．利用联系的观点进行角的变换

π4π

典例 (1)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为 ．

6512π

(2)若tan α＝2tan，则

5A．1 B．2 C．3 D．4

思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、α＋ββα

凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有＝(α－)－(－β)；α＝(α－β)＋β；

222πππ

α＋＝(α＋)－；15°＝45°－30°等．

1234π4

解析 (1)∵α为锐角且cos(α＋)＝>0，

65ππππ3

∴α＋∈(，)，∴sin(α＋)＝.

66265πππ

∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－] 1264ππππ

＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin

6464ππ2π2

＝2sin(α＋)cos(α＋)－[2cos(α＋)－1]

662634242

＝2××－[2×()－1]

5525＝

12272172－＝. 255050

3π

α－10πα－

5πα＋

5πα－

5

3ππα－＋102πα－

5

3πα－

10πα－

5

等于( )

(2)＝

＝

ππ

sin αcos＋cos αsin

55

＝ ππ

sin αcos－cos αsin

55

sin αππ

cos＋sincos α55＝ sin αππ

cos－sincos α55

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8