物理方法求曲率半径

用物理方法求常见曲线的曲率半径

王吉旭 滑县第一高级中学 456400

求曲线曲率的问题常出现在高中物理竞赛中，而近年来高考中也涉及到曲线曲率的问题，例如2008年江苏理综14题涉及到曲率半径，2011年高考安徽理综17题更是要求求出曲线曲率. 在数学中曲线的曲率半径可以用高等数学的方法求出，这里我们另辟蹊径,从物理的角度采用初等数学求出曲线曲率半径. 我们首先来看2011高考安徽理综17题:

一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替. 如图（a）所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径?叫做A点的曲率半径. 现将一物体沿与水平面成?角的方向以速度v0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点P处得曲率半径是（ ）

2v0A．

g2v0cos2?C．

g2v0sin2?B．

g2v0cos2?D．

gsin?

图1

[解析] 物体在最高点P,只有水平速度为v0cos?,物体只受重力.

(v0cos?)2v2由F向?m得: mg?m

?r2v0cos2?则有:?? 本题正确答案为C

g上述问题给我们启示: 从物理的角度,我们也可以求出曲线上某点的曲率半径. 事实上,物理学上我们常讨论的曲线有抛物线、椭圆、双曲线等,我们都可以利用上述的方法求曲率半径.下面我们来逐一研究. 一、求抛物线顶点的曲率半径

物体做平抛运动时其轨迹就是抛物线.假设物体平抛初速度为v0，运动轨迹如图2所示. 则有将物体的运动分解为水平分运动和竖直分运动： 公式为：x?v0t ① O v0 x 12y?gt ②

2g2y?x 联立①②式得22v0y 图2