2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练1(附答案详解)

(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝再由∠OAD＝30°知OD＝

1CD＝2，DE＝CD2?CE2?23，21AD＝3，从而得出点C坐标； 2(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝

921知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，22据此知x2+y2＝36，而得出答案；

1xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从2(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证

CDDMCM912??，据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN

5ONMNOM56AN＝，再由OA＝ON2?AN2及cos∠OAD＝可得答案． 5OA△CMD∽△OMN得【详解】

(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°， ∴在Rt△CED中，CE＝

1CD＝2，DE＝CD2?CE2＝23， 2在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝

1AD＝3， 2∴点C的坐标为(2，3+23)； (2)∵M为AD的中点， ∴DM＝3，S△DCM＝6，

又S四边形OMCD＝

21， 2∴S△ODM＝

9， 2∴S△OAD＝9，

设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，

将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18， 解得x＝32(负值舍去)， ∴OA＝32； (3)OC的最大值为8， 如图2，M为AD的中点，

1xy＝9， 2

∴OM＝3，CM＝CD2?DM2＝5， ∴OC≤OM+CM＝8，

当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，

连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN，

CDDMCM435????， ，即ONMNOMONMN3912解得MN＝，ON＝，

556∴AN＝AM﹣MN＝，

5∴

在Rt△OAN中，OA＝ON2?AN2?65， 5

∴cos∠OAD＝【点睛】

AN5． ?OA5本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点． 9．（1）8；（2）【解析】 【分析】 提出问题：

（1）由四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，可求解； 探究问题：

（2）如图②，连接AC，过点B作BM⊥AD，BN⊥CD，通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，由直角三角形的性质可求BM＝BN＝3MD＝15，由四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，可求解； 解决问题：

（3）如图③，连接AC，BD，过点A作AM⊥CD，AN⊥BC，通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，且BD是直径，可得∠ACM＝∠ABD＝45°，∠ADB＝∠ACB＝45°，由直角三角形的性质可求AM＝CM＝【详解】 解：提出问题：

（1）如图①，连接BD，

315；（3）有，四边形EAFC的面积最大值为8km2 222AC，AN＝CN＝AC，由面积关系可求解． 22

∵四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，

∴四边形BEDF的面积＝?DE×AB+故答案为：8； 探究问题：

1211DF×BC＝×4×（DE+DF）＝8， 22（2）如图②，连接AC，过点B作BM⊥AD，BN⊥CD，

∵AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵∠ABC＝60°，∠ADC＝120°， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆，

∴∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°， ∵BM⊥AD，BN⊥CD，

∴∠MBD＝30°，∠DBN＝30°，且BD＝25， ∴MD＝DN＝

1BD＝5， 2∴BM＝BN＝3MD＝15，

∵四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB， ∴四边形BEDF的面积＝?DE×BM+解决问题：

（3）如图③，连接AC，BD，过点A作AM⊥CD，AN⊥BC，

1211315×DF×BN＝×15×（DE+DF）＝； 222

∵AB＝AD＝4km，∠DAB＝90°， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°，BD＝42km， ∵∠DAB+∠BCD＝90°+90°＝180°，

∴点A，点B，点C，点D四点共圆，且BD是直径， ∴∠ACM＝∠ABD＝45°，∠ADB＝∠ACB＝45°， ∵AM⊥CD，AN⊥BC，

∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∠NAC＝∠ACN＝45°， ∴AM＝CM＝22AC，AN＝CN＝AC， 22∵四边形EAFC的面积＝S△ACE+S△AFC， ∴四边形EAFC的面积＝?CE×AM+

12112×CF×AN＝×AM×AC×4＝（CE+CF）＝2242AC，

∴当AC为最大值时，四边形EAFC的面积有最大值， ∵AC是以BD为直径的圆中的弦， ∴AC的最大值为直径，

∴当AC＝42km，四边形EAFC的面积最大值为8km2． 【点睛】

本题主要考查四边形综合题，解题关键是连接AC，BD，过点A作AM⊥CD，AN⊥BC. 10．(1)AF=2AE；（2）AF=2AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=2AE，理由详见解析. 【解析】