中国人民大学附属中学高考冲刺卷
数 学(理) 试 卷（二）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项. 1．若集合M，N，则MIN等于 ?{y|yx??2, x?R }?{yy|?x, x?R}
（A）?0,???
（B）(??,??) （C）? （D）{(2, 4)，(?1, 1)}
2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训
表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A）8，8 （B）10，6
（C）9，7 （D）12，4 3．极坐标方程??4cos?化为直角坐标方程是
22（A）( （B）x2?y2?4 x?2)?y?42222（C）x （D）( ?(y?2)?4x?1)?(y?1)?424．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和．若a1?3，aa?144，则S10的值24
是
（A）511
（B） 1023 （C）1533 （D）3069
25．函数y?cos(x??2)的单调增区间是
π
（A）(kπ, ?kπ, kπ?π) k?Z
22k?Z （C）(2kπ, π?2kπ)k?Z （D）(2kππ?, 2kπ?2π)正视图
π?kπ) k?Z （B）(6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三
角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于
（A）612641 侧视图
（B）2333
俯视图
（C）37．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A, C分别是双曲线虚
（D）
y A
轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则?BDF的余弦值是 （A）（C）
77714 （B） （D）57577
F
D
B
O
x
148．定义区间(a, b)，[a, b)，(a, b]，[a, b]的长度均为
C d?b?a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,
的长度d. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{}(1, 2)?[3, 5)??(21)???(53)3x?x?[x]，其中x?R. 设f(，若用d1,d2,d3分别表示不等式f(xx)?[x]{}?x，g(x)?x?1)?g(x)，方程
≤x≤2011时，有 f(x)?g(x)，不等式f(x)?g(x)解集区间的长度，则当0
（A）d （B）d ?1, d?2, d?2008?1, d?1, d?2009123123 （C）d （D）d ?3, d?5, d?2003?2, d?3, d?2006123123
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．复数z1?3?i，z2?1?i，则
6zz开始 12等于 .
输入x 10．在二项式(x?2)的展开式中，第四项的系数是 . 11．如下图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中
，则实数x? ，实数y? .
C
E · D
· A B F
12．执行右图所示的程序框图，若输入x??5.2，
则输出y的值为 ．
13．如下图，在圆内接四边形ABCD中, 对角线AC, BD相交于
????????????????????点，F为AB上的点，且A B?4AF. 若AD?xAF?yAEy?0, i?0 y?|x?2| i?i?1 x?y 否 ?C?CD?23E?2EC点E．已知B，A，?CBD?30， i≥5? CAB? ，AC的长是 ． 则? 是
输出y
结束
i,i,i,?,i)n是不小于3的正整数)，对于任意的14．对于各数互不相等的整数数组(123n (
p,q?{1,2,3,?,n}，当p?q时有ip?iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所
有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若n，则数组(i,i,i,?,i)i,i?,?,i)数组(123n中的逆序数为nn11中的逆序数为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）
在锐角?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C??（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）当c?2a，且b?37时，求a.
16．（本小题满分13分）
[来源:Zxxk.Com]34.
如图，在四棱锥P中，底面ABCD为直角梯形，且A，?ABCDD//BC，?ABC??PAD?90?侧面P. A?AB?BC?ADAD?底面ABCD. 若P21（Ⅰ）求证：CD?平面PAC；
（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存
在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角A的余弦值. ?PD?CP [来源:学科网ZXXK] A D
B C
17．（本小题满分13分）
在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获
[来源:学|科|网]奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
23．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
[来源:学科网]
18．（本小题满分13分）
2x)??alnx?2 (a?0)已知函数f(.
x（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点P (1,f(1))处的切线与直线y?x?2垂直，求函数y?f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对于??成立，试求a的取值范围； x(0,??)都有f(x)?2(a?1)?1（Ⅲ）记g.当a?1时，函数g(x)在区间[e, e]上有两个零点，求实数b(x)?f(xx)??b (b?R)的取值范围.
19．（本小题满分14分）
已知A(?2, 0)，B(2, 0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且?APB面积的最大值为23．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
20．（本小题满分14分）
有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(，公差为dm，m,k?1,2,3,?,,n n≥3)[来源:学&科&网Z&X&X&K]并且a成等差数列． ,a,a,?,a1n2n3nnn（Ⅰ）证明d≤m≤n，p1,p2是m的多项式），并求p1?p2的值； ?pd?pd （3m1122（Ⅱ）当d时，将数列{dm}分组如下： ?1, d?312(每组数的个数构成等差数列)． (d), (d,,ddd), (,d,d,,dd),?1234567894设前m组中所有数之和为(c)(c?0)，求数列{2dm}的前n项和Sn． mmcm（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n?N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式 成立的所有N的值．
150(Sn?6)?dn中国人民大学附属中学高考冲刺卷
数学(理)试卷（二）参考答案
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