第4节 万有引力理论的成就
核心素养关键词 1.若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的引力，即mg＝G2，知识体系 MmRgR2可得地球质量M＝，该公式同样适用于其G他天体. 2.根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径r4πr和周期T，就可得太阳的质量为M＝2. 3GT 3.英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶预言了海王星的存在，1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了被预言的海王星. 4.1705年英国天文学家哈雷正确预言了哈雷彗星的回归. 一、地球质量的计算
在不考虑地球自转的情况下，地球表面物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即
MmgR2
mg＝G2，解得M＝Ｗ.在已知g、R并在卡文迪许准确测定引力常量G后，可据上式得到
RG地球的质量. 二、天体质量的计算
计算中心天体的质量，首先观测环绕天体的轨道半径r和运动周期T，根据万有引力提
1
2
Mm4π24π3
供向心力，G2＝m2r，解得中心天体质量M＝2rＷ.
rTGT三、发现未知天体
海王星的发现和哈雷彗星的回归.
一、合作探究找规律 考点一 计算天体的质量
1.若已知卫星绕地球运动的周期T和卫星到地心的距离r，可以计算卫星的质量吗？ 2.若已知地球绕太阳运动的周期T和地球到太阳的距离r，可以计算太阳的密度吗？
GMm4π2
答：1.不可以.因为2＝m2r，等式两边卫星的质量消去了，只能计算中心天体的质
rT量.
2.不可以，只能计算太阳的质量，但由于不知道太阳的半径，故无法计算太阳的密度. 考点二 发现未知天体
如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
1.行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
2.行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
Mmv2
答：1.由G2＝m得v＝rr半径共同决定的.
GM，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道r2
Mmv24π2
2.无关.因为在等式G2＝man＝m＝mωr＝m2r各项中都含有m，可以消掉.
rrT 2
二、理解概念做判断
1.卡文迪许测出了万有引力常量，使得万有引力定律有了实际的应用价值.(√) 2.利用万有引力可以确定天体的质量，如确定地球的质量.(√) 3.冥王星被称为“笔尖下发现的行星”.(√)
4.科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析.(√)
要点1|计算天体的质量和密度
1.计算天体质量的思路和公式
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的，根据圆周运动的知识和牛顿第二定律可知有关天体运动的一些物理量有如下关系：
2
Mmv24π2
G2＝ma向＝m＝mrω＝mωv＝mr2. rrT(2)重力近似等于其所受的万有引力，即：
Mmmg＝G2(m在M的表面上).
R说明：①万有引力提供天体运动的向心力以及重力近似等于万有引力是我们研究天体运动的两大依据.
②式中的r是天体做匀速圆周运动的轨道半径，R是被环绕天体的半径. 2.计算被环绕天体质量的几种方法
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量.下面以地球质量的计算为例，介绍几种关于计算天体质量的方法：
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，根据万有引力提供向
223
M地·m月4π4πr心力，即G＝m月r2，可求得地球质量M地＝.
r2TGT2
3
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和月球运行的线速度v，由于地球
M地·m月v2
对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G＝m月，
r2rrv2
解得地球质量M地＝.
G(3)若已知月球做匀速圆周运动的线速度v和周期T，由于地球对月球的引力等于月球
M地·m月2πM地·m月v2
做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G＝m月v，G＝m月，以r2Tr2rTv3
上两式消去r，解得地球的质量为M地＝ . 2πG说明：根据万有引力定律只能计算被环绕的中心天体的质量.
(4)利用绕地球运转的各种航天器(卫星、宇宙飞船、航天飞机、空间站)，测出其轨道半径r、周期T或线速度v等，利用万有引力提供向心力列出相关方程即可求出地球质量.
(5)求其他天体的质量的思路和方法：通过观测，寻找其卫星，测出其卫星运行的轨道半径、周期、线速度等；或者对该天体发射一环绕运转的飞行器，测出该飞行器运行的轨道半径、周期、线速度等，利用万有引力提供向心力列出相关方程求解.
3.利用天体的卫星来求天体的密度
Mm4π2
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程G2＝m2
rT4πr223
3
GT4M3πrr，又M＝ρ·πR3，得ρ＝＝＝23.当天体的卫星环绕天体表面运动时，其
34343GTRπRπR33
3π
轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝2. GT4.利用天体表面的重力加速度来求天体的密度
Mm433g由mg＝G2和M＝ρ·πR，得ρ＝，其中g为天体表面的重力加速度，R为天
R34πGR体的半径.
典例1 1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只
脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步，在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧测力计测出质量为m的食品的重力为F；而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球表面附近
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