(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围。 解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)。当a＝4时，
1
f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋x－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0。
曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0。 a?x－1?
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0。
x＋1a?x－1?
设g(x)＝lnx－，则
x＋1
x2＋2?1－a?x＋112a
g′(x)＝x－＝，g(1)＝0。
?x＋1?2x?x＋1?2
(ⅰ)当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0；
(ⅱ)当a>2时，令g′(x)＝0得
x1＝a－1－?a－1?2－1，x2＝a－1＋?a－1?2－1。
由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x) 综上，a的取值范围是(－∞，2]。 答案 (1)2x＋y－2＝0 (2)(－∞，2] 10．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－alnx。 (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； 2 (2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋alna。 解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， a f′(x)＝2e－x。 2x 当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点； a 当a>0时，设u(x)＝e，v(x)＝－x， 2x a 因为u(x)＝e在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－x在(0，＋∞)上 2x 单调递增， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增。 a1 又f′(a)>0，当b满足0 (2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0。 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)。 由于 a2x 2e0－x＝0， 0 a22 所以f(x0)＝2x＋2ax0＋alna≥2a＋alna。 02 故当a>0时，f(x)≥2a＋alna。 答案 (1)当a>0时，存在唯一零点 (2)见解析 (时间：20分钟) 1．(2017·唐山模拟)已知函数f(x)＝a(tanx＋1)－ex。 (1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线经过点(2,3)，求实数a的值； π?? ?(2)对任意x∈0，2?，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。 ??解析 (1)因为f(x)＝a(tanx＋1)－ex， a 所以f′(x)＝cos2x－ex， 所以f′(0)＝a－1， 又f(0)＝a－1，且f(x)的图象在x＝0处的切线经过点(2,3)，故a?a－1?－3－1＝， 0－2 ∴a＝2。 ex (2)由f(x)≥0得a≥， tanx＋1ex 令g(x)＝， tanx＋1 extanx?1－tanx? 则g′(x)＝， ?tanx＋1?2π????0，当x∈4?时，g′(x)>0； ? ?ππ? 当x∈?4，2?时，g′(x)<0， ? ? 答案 (1)a＝2 (2) 2．(2016·四川高考)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R。 (1)讨论f(x)的单调性； 1 (2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>x－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)。 2 12ax－1 解析 (1)f′(x)＝2ax－x＝x(x>0)。 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减。 1 当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝。 2a 1??0，??时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 此时，当x∈ 2a?? ?1? ，＋∞?时，f′(x)>0，f(x)单调递增。 当x∈?2a?? 11 (2)令g(x)＝x－x－1，s(x)＝ex－1－x。 e则s′(x)＝ex－1－1。 而当x>1时，s′(x)>0， 所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增。 又由s(1)＝0，有s(x)>0， 从而当x>1时，g(x)>0。 当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0。 故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0。 11 当0 2a ?1??1????>0， 由(1)有f 所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立。 1 当a≥2时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)。当x>1时，h′(x)＝2ax－ 32x－2x＋1x－2x＋1111111－x >>0。 x＋x2－e>x－x＋x2－x＝x2x2因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增。 又h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0， 即f(x)>g(x)恒成立。 ?1? 综上，a∈?2，＋∞?。 ??
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