（1）求p的值；
（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求
的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系． 【分析】（1）求出l的方程为
，设A（x1，y1），B（x2，y2），联
立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB中点坐标，推出中垂线方程，结合AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．求出p即可． （2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，求出AB的距离以及AB中点2k2+1）为D（2k，，令∠MDN=2α，求出S的表达式，推出关系式利用D到x轴的距离|DE|=2k2+1，求出解
的最大值．
， ，
，然后求
【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由
，得x2﹣2px﹣p2=0，
第29页（共36页）
x1+x2=2p，y1+y2=x1+x2+p=3p，得AB中点为AB中垂线为x=0代入得∴p=2…
．
，
…
（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0，
，
AB中点为D（2k，2k2+1） 令∠MDN=2α，∴
…
，
D到x轴的距离|DE|=2k2+1，
…
当k2=0时cosα取最小值，α的最大值为故
21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+
+1 （a∈R）．
的最大值为
．…
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a∈（，1）时，若对任意t∈[2，3]，在x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数f（x）的单调性．
第30页（共36页）
（Ⅱ）先求导，比较1与的大小关系，对a分类讨论，利用导数
研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：（1）
令g（x）=﹣[ax﹣（1﹣a）]（x﹣1）
当a=0时，g（x）=x﹣1，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0?f'（x）＞0?f（x）单调递增，a＜0时， 由x＞0，得ax﹣（1﹣a）＜0，
所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞0?f'（x）＞0?f（x）单调递增， 当a＞0时，若
，则
），f'（x）＞0，f（x）单调递增，
，
（x＞0），
当0＜a＜，x∈（1，
当a=，f（x）在（0，+∞）上无递增区间， 当＜a≤1时，x∈（
，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当a＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增． 综上所述，当a≤0时，单调递增区间为（1，+∞）； 当0＜a＜时，单调递增区间为（1，
）；
1） ，；
当a=时，无单调递增区间；＜a≤1时，单调递增区间为（当a＞1时，单调递增区间为（0，1）． （2）由题知函数∴①当
时，
＞0，
．
于是x∈（0，1）和
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
第31页（共36页）
时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
又因为
，要对任意实数t∈[2，3]，当x∈（0，t]时，函数f
（x）的最小值为f（t），只需要f（2）≤f（1）， 即
解得a≥2ln2﹣1． ∵∴②当
时，
， ；
，
，
在x∈（0，+∞）上，恒有f'（x）≤0，有且仅有f'（1）=0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，显然成立． ③当于是
时，
，
和x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
要对任意实数t∈[2，3]，
当x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），只需要即令
， ，
所以g（a）在g（a）≥
上单调递减，在
上单调递增减，
；
，
＞ln2+，所以此时恒定满足题意．
综上所述：a∈[2ln2﹣1，1）．
第32页（共36页）
相关推荐：
loading