高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、 重点、难点

教学重点：以两角和与差的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 二、课堂教学

首先回顾两角和与差的正弦、余弦和正切公式，

由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？（把上述公式中?看成?即可），

sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?；

cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?； 变型： cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?；

cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1．

tan2??tan??????tan??tan?2tan?． ?21?tan?tan?1?tan?注意：2??三、例题讲解 例1、已知sin2??解：由

?2?k?,???2?k? ?k?z?。

5??,???,求sin4?,cos4?,tan4?的值． 1342?4????2,得

?2?2???．

2125?5?又因为sin2??,cos2???1?sin22???1?????．

1313?13?于是sin4??2sin2?cos2??2?5?12?120??????； 13?13?169------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------１ ---------------

120sin4?120?5?119；tan4??． cos4??1?2sin22??1?2?????169??119cos4?119?13?1691692?4例2、 在△ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.

5解：在△ABC中,由cosA=

434,0

5553sinA3532tanA4?24 所以tanA==×=,tan2A=?3cosA54471?tan2A1?()242?又tanB=2, 所以tan2B=

2tanB2?24???. 2231?tanB1?2244?tan2A?tan2B4473??. 于是tan(2A+2B)=

2441?tan2Atan2B1771??(?)73例3、求cos36°cos72°.的值．

2sin36?cos36??cos72?2sin72?cos72?1?解：原式==.

42sin36?4sin36?113?例4.已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,

7142(1)求tan2α的值; (2)求β.

1431?. 解:(1)由cosα=,0<α<,得sinα=1?cos2a=1?()2?7772∴tanα=

2tana2?4383sina437?=43.于是tan2α=???. =2271471?tana1?tanacosa(2)由0<α<β<

??,得0<α-β<. 22133313. ,∴sin(α-β)=1?cos2(a??)?1?()2?141414又∵cos(α-β)=

由β=α-(α-β),得

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------２ ---------------

cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=∴β=

11343331?×+=. 7147142?. 3例5 化简3cosx?sinx 解：原式=2(31???cosx?sinx)?2(sincosx?cossinx)?2sin(?x) 22333或解：原式=2(coscosx?sinsinx)?2cos(?x)

666????5???y?cos(?x)?cos(?x)的值域 例6 已知x??，求函数0,???2?1212解： y?cos(?2??12?x)?cos(5???x)?2cos(?x) 123633????? ∵x???0,? ∴???x?

1? ∴cos(?x)???2,1? ∴函数3???y

?2?的值域是?,2?

???2?例7 已知sin(?x)?4??cos2x5 ，0?x? 求的值

?413cos(?x)4解：∵sin(?x)?4????55??(?x)?sin(?x)? cos? ?2?441313??即：cos(?x)?4?5 13∵0?x??4 ∴

12 13?4?x??4??2

从而si(?x)?4??(?x)?cos(?x)而cos2x?cos??4??13?13?13?13?169 4??120cos2x24?169?∴ ?513cos(?x)413??125125120例8已知sin(2???)?2sin??0 求证tan?=3tan(?+?) 证：由题设：sin[(???)??]?2sin[??(???)]

即sin(???)cos??cos(???)sin??2sin?cos(???)?2cos?sin(???) ∴3sin(???)cos??sin?cos(???)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------３ ---------------

∴tan?=3tan(?+?) 例9 已知

?2?????3?4，cos(???)?123，sin(???)??，求sin2?的值 135 解：∵cos(???)? ∴0????? ∴???????3?12 ?0 ?????2413?4 ∴sin(???)?

455 133?2又sin(???)?? ∴cos(???)??

∴sin2?=sin[(???)?(???)]?sin(???)cos(???)?c0s(???)sin(???)

3124556 =??????

5135136535例10求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1

选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用 证明：左端＝

3(tan20??tan40?)?tan40??tan20? 3说明：可在△ABC中证明tanA2tanB2?tanB2tanC2?tanC2tanA2?1 课时对点练

一、选择题

π??x－?－1是 1．函数y＝2cos?

4??

2 ( )

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 π

C．最小正周期为的奇函数

2π

D．最小正周期为的偶函数

2

( )

2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50°＝

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