2021年北京工商大学数学与统计学院806概率论与数理统计考研核心题库之概率论与数理统计教程计算题精编
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1． 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：青岛掌?心博阅电О子书
(1)乙箱中次品件数的数学期望； (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
【答案】(1)X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为
即因此
(2)设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于件组，因此根据全概率公式，有.
注：本题对数学期望的计算也可用分解法： 设
则的概率分布为
因为
2． 设总体X的概率密度为本
，记
(1)求总体X的分布函数(2)求统计量的分布函数
。
，其中
为未知参数。从总体X中抽取简单随机样
，所以
，
构成完备事
(3)如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性 【答案】(1)由分布函数的定义，可得总体X的分布函数为
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(2)
(3)的概率密度为
从而
因此作为的估计量不具有无偏性
3． 设随机变量X的绝对值不大于1，P(X=1)=
，P(X=-1)=
，而在事件
出现的条件下，
X落在(-1，1)内任一子区间的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数。
【答案】设随机变量X的分布函数为和连续型随机变量，由题意
，何况
对应于二点分布
，其中
分别对应于离散型
。(注：由于存在系数a的影响，故一般
，P(X=1)=
，注意到
对应于连
。)现设法求p，q。考虑P(X=-1)=
续随机变量的分布函数，它在-1，+1处的跃度必为0,从而有关系式
和
得
+
=a(p+q)=a，故系数
接着可有。下面考虑
，对于
。 ，易知
，
由已知条件“条件概率的正比性”可知
亦有正比性，去掉系数b以后
亦保留正比性。于是该分布函数具均匀分布的特性，故从题意即知它服从U(-1，1)，于是
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另外由a+b=1，可解出b=
可写出
的表达式
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拼上a,b及
后可得
4． 设总体为
。
(1)试求均值差【答案】(1)由于
的最大似然估计
才能使的方差达到最小？ ，故似然函数
于是令
，得
，故
，
，即的最大似然估计量为
同样由于
，有似然函数
于是令
，得
，故
，
，
，利用最大似然估计量的不变性，得
的最大似然估
(2)假设n固定，如何配置
且相互独立，分别从两总体中抽取容量为的样本，记样本总量
即的最大似然估计量为计量
(2)由于
的方差为
要使
达到最小，令
，得
解得
?，故可取
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