全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编(知识点详解附专题训练) 数列求和之裂项相消法

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第6节 数列求和之裂项相消法

【基础知识】

1．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前错误！未找到引用源。项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似错误！未找到引用源。（其中错误！未找到引用源。是各项不为零的等差数列，错误！未找到引用源。为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

（1）错误！未找到引用源。，特别地当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。； （2）11?n?k?nk?n?k?n，特别地当错误！未找到引用源。时，

?1?n?1?n；

n?1?n2n21?11?（3）an??1???? 2?2n?12n?1??2n?1??2n?1?（4）an?（5）

?11?11 ?????n?n?1??n?2?2?nn?1n?1n?2????????1111?(?)(p?q)pqq?ppq

一般裂项模型：

sin1????tan(n?1)?tann（1）an?f(n?1)?f(n) （2） ??cosncos(n?1)（3）

an?111??n(n?1)nn?1 （4）

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(2n)2111an??1?(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（5）an?(6)

an?1111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n?212(n?1)?n1111 ?n??n??,则S?1?nn?1nnn(n?1)2n(n?1)2n?2(n?1)2(n?1)2（7）an?（8）an?

1111?(?)

(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C1n?n?1?n?1?n

【规律技巧】

1. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．

对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．

应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特

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别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn?qSn”的表达式．

2. 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：

(1)裂项过程中易忽视常数，如的系数；

(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．

【典例讲解】

2

【例1】 正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn－(n2＋n－1)Sn－

111111容易误裂为，漏掉前面?(?)?n(n?2)2nn?2nn?212(n2＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

n＋1

(2)令bn＝2，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于（n＋2）2an

5任意的n∈N，都有Tn＜64.

*

22

【解析】(1)解 由S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，

得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.

由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项an＝2n.

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规律方法 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．

【变式探究】 (2014·山东卷)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)

n－1

4n

，求数列{bn}的前n项和Tn. an an＋1

2×1

【解析】(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×2＝2a1＋2， 4×3S4＝4a1＋2×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1， 所以an＝2n－1.

4n4n(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1 anan＋1（2n－1）（2n＋1）＝(－1)

n－1

?11?＋??. 2n－12n＋1??

当n为偶数时，

?11??11?1??11??

＋＋???????Tn＝1＋3－3＋5＋…＋2n－32n－1－2n－12n＋1?＝1

????????

12n

－＝. 2n＋12n＋1