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第七章 不等式
知识点 不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 最新考纲 了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 基本不等式 ab≤a＋b2(a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)及其应用. 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，绝对值不等式 |x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 第1讲 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c； (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?a＞b(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0? nnnna＞b(n∈N，n≥2)． 3．不等式的一些常用性质 (1)有关倒数的性质 11 ①a>b，ab>0?<. ab最新Word 11 ②a<0 ab③a>b>0，0 ④0 abcdbxa(2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①<②> bb＋mbb－m；>(b－m>0)． aa＋maa－maa＋maa－m；<(b－m>0)． bb＋mbb－m [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( ) (6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a－b>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.a－b>0?a>b?a>b?a>b， 但由a－b>0?/ a－b>0. 2．(必修5P75A组T2改编) 1 1 ______(填“>”“<”或“＝”)． 5－26－51 2 2 2 2 2 2 ab解析：分母有理化有 1 ＝5＋2，＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以5－26－5 最新Word 15－2 <16－5 . 答案：< 122 3．(必修5P75B组T1改编)若0 2大排列为________． 12 解析：令a＝，b＝， 33124 则2ab＝2××＝， 339 a2＋b2＝＋＝， 1522 故a<2ab<<＝a＋b 29122 答案：a<2ab< 2[易错纠偏] (1)乱用不等式的相乘性致错； (2)命题的必要性出错； (3)求范围乱用不等式的加法原理致错． 1．若a>b>0，c 194599 abcdabdcB.－<0 D.< abcdabdcbdacba，即>. cdcdcd2．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a1 ＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a2＋b>3且ab>2”的充分不必要条件． 答案：充分不必要
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