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C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】 (1)(a-b)·a<0,则必有a-b<0,即a
(2)当b<0时,显然有a>b?a|a|>b|b|; 当b=0时,显然有a>b?a|a|>b|b|; 当b>0时,由a>b有|a|>|b|, 所以a>b?a|a|>b|b|.
综上可知a>b?a|a|>b|b|,故选C. 【答案】 (1)A (2)C 角度三 求代数式的取值范围
(2020·台州高三模拟)若α,β满足?
为________.
【解析】 设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
???x+y=1,?x=-1,则?解得? ?x+2y=3,?y=2.??
?-1≤α+β≤1,?
??1≤α+2β≤3,
2
2
2
则α+3β的取值范围
因为-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, 两式相加,得1≤α+3β≤7. 所以α+3β的取值范围是[1,7]. 【答案】 [1,7]
(1)判断不等式命题真假的方法
①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式性质.
②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假.
(2)充要条件的判断方法
利用两命题间的关系,看p能否推出q,再看q能否推出p,充分利用不等式性质或特值求解.
(3)求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.
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已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则的取值范
围是________.
解析:因为b+c≤2a,c+a≤2b,c>a-b,c>b-a,
baa-b<c,??b-a<c,
所以问题等价于不等式组?有解,
c≤2a-b,??c≤2b-a??a-b<2b-a,2b3
所以??<<,
b-a<2a-b,3a2??b-a<2b-ab?23?即的取值范围是?,?. a?32?
a-b<2a-b,
?23?答案:?,?
?32?
比较两个数(式)的大小
132
(1)设函数f(x)=x+,x∈[0,1].证明:f(x)≥1-x+x;
1+xln 3ln 2
(2)若a=,b=,比较a与b的大小.
32
1-(-x)1-x1-x【解】 (1)证明:因为1-x+x-x==,由于x∈[0,1],有
1-(-x)1+x1+x2
3
4
4
4
≤
1
, x+1
即1-x+x-x≤
2
3
1
, x+1
2
所以f(x)≥1-x+x.
ln 3ln 2
(2)因为a=>0,b=>0,
32所以=
aln 322ln 3ln 9·===log8 9>1,所以a>b.
b3ln 23ln 2ln 8
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1.设m=(x+2)(x+3),n=2x+5x+9,则m与n的大小关系为( ) A.m>n C.m≥n
解析:选B.m-n=x+5x+6-(2x+5x+9) =-x-3<0,所以m 2 2 22 B.m a2b2 2.比较+与a+b(a>0,b>0)两个代数式的大小. baa2b2a3+b3-a2b-ab2 解:因为+-(a+b)= baaba2(a-b)+b2(b-a)(a-b)(a2-b2) == abab(a-b)(a+b) =. 2 ab(a-b)(a+b)又因为a>0,b>0,所以≥0, 2 aba2b2 故+≥a+b. ba[基础题组练] 1.(2020·嘉兴期中)若x>y,m>n,下列不等式正确的是( ) A.m-y>n-x C.> B.xm>yn D.x-m>y-n xynm解析:选A.对于B,x=1,y=-2,m=-1,n=-2时不成立, 对于C,x=1,y=-2,m=-1,n=-2时不成立, 因为x>y,m>n,所以x+m>y+n,所以m-y>n-x.A正确, 易知D不成立,故选A. β?π?β∈?0,π?, 2.(2020·义乌质检)设α∈?0,?,那么2α-的取值范围是( ) ??2?2?3?? 最新Word ?5π?A.?0,? 6?? C.(0,π) ?π5π?B.?-,? 6??6?π?D.?-,π? ?6? βπ 解析:选D.由题设得0<2α<π,0≤≤, 36 πβπβ所以-≤-≤0,所以-<2α-<π. 6363 3.设实数x,y满足0<xy<1且0<x+y<1+xy,那么x,y的取值范围是( ) A.x>1且y>1 C.0<x<1且0<y<1 B.0<x<1且y<1 D.x>1且0<y<1 ??xy>0,??x>0, ?解析:选C.??又x+y<1+xy,所以1+xy-x-y>0,即(x-1)(y-?x+y>0??y>0.????x<1,??x>1,?0<x<1, 1)>0,所以?或?(舍去),所以? ?y<1?y>1?0<y<1.??? 4.(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是( ) A.若|a|<b,则a>b B.若|a|>b,则a>b C.若a>b,则a>b D.若a>|b|,则a>b 解析:选D.若|a|<b,则a<b,故A错误;若a=b<0,则|a|>b,则a=b,故B错误; 若-a=b<0,则a>b,则a=b,故C错误; 若a>|b|,则a>b,故D正确.故选D. 5.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( ) A.若a>b,则ac>bc B.若>,则a>b 1133 C.若a>b且ab<0,则> 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 abccabab1122 D.若a>b且ab>0,则< 解析:选C.当c=0时,可知A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a>b且ab<011 知a>0且b<0,所以>成立,C正确;当a<0且b<0时,可知D不正确. 3 3 ab6.已知实数a,b,c.( ) A.若|a+b+c|+|a+b+c|≤1,则a+b+c<100 2 2 2 2 2 最新Word B.若|a+b+c|+|a+b-c|≤1,则a+b+c<100 C.若|a+b+c|+|a+b-c|≤1,则a+b+c<100 D.若|a+b+c|+|a+b-c|≤1,则a+b+c<100 解析:选D.取a=10,b=10,c=-110,可排除选项A;取a=10,b=-100,c=0,可排除选项B;取a=10,b=-10,c=0,可排除选项C.故选D. 7.(2020·严州模拟)若a1 11 8.a,b∈R,a<b和<同时成立的条件是________. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22222 ab11 解析:若ab<0,由a<b两边同除以ab得,>, ba1111即<;若ab>0,则>. abab11 所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b. ab答案:a<0<b 9.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 cm,要求菜园的面积不小于216 m,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________. 解析:矩形靠墙的一边长为x m,则另一边长为0 ??x? 15-x≥216.???2??? 0 15-x≥216???2??? 10.已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________. 解析:因为f(x)过原点,所以设f(x)=ax+bx(a≠0). 1 a=[f(-1)+f(1)],?2?f(-1)=a-b,?? 由?得? ?f(1)=a+b,1? ??b=2[f(1)-f(-1)], 2 2 x?30-x? m,即?15-? m,根据题意知 2?2?
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