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浙江专用2021年新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

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C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【解析】 (1)(a-b)·a<0,则必有a-b<0,即a

(2)当b<0时,显然有a>b?a|a|>b|b|; 当b=0时,显然有a>b?a|a|>b|b|; 当b>0时,由a>b有|a|>|b|, 所以a>b?a|a|>b|b|.

综上可知a>b?a|a|>b|b|,故选C. 【答案】 (1)A (2)C 角度三 求代数式的取值范围

(2020·台州高三模拟)若α,β满足?

为________.

【解析】 设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.

???x+y=1,?x=-1,则?解得? ?x+2y=3,?y=2.??

?-1≤α+β≤1,?

??1≤α+2β≤3,

2

2

2

则α+3β的取值范围

因为-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, 两式相加,得1≤α+3β≤7. 所以α+3β的取值范围是[1,7]. 【答案】 [1,7]

(1)判断不等式命题真假的方法

①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式性质.

②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假.

(2)充要条件的判断方法

利用两命题间的关系,看p能否推出q,再看q能否推出p,充分利用不等式性质或特值求解.

(3)求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.

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已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则的取值范

围是________.

解析:因为b+c≤2a,c+a≤2b,c>a-b,c>b-a,

baa-b<c,??b-a<c,

所以问题等价于不等式组?有解,

c≤2a-b,??c≤2b-a??a-b<2b-a,2b3

所以??<<,

b-a<2a-b,3a2??b-a<2b-ab?23?即的取值范围是?,?. a?32?

a-b<2a-b,

?23?答案:?,?

?32?

比较两个数(式)的大小

132

(1)设函数f(x)=x+,x∈[0,1].证明:f(x)≥1-x+x;

1+xln 3ln 2

(2)若a=,b=,比较a与b的大小.

32

1-(-x)1-x1-x【解】 (1)证明:因为1-x+x-x==,由于x∈[0,1],有

1-(-x)1+x1+x2

3

4

4

4

1

, x+1

即1-x+x-x≤

2

3

1

, x+1

2

所以f(x)≥1-x+x.

ln 3ln 2

(2)因为a=>0,b=>0,

32所以=

aln 322ln 3ln 9·===log8 9>1,所以a>b.

b3ln 23ln 2ln 8

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1.设m=(x+2)(x+3),n=2x+5x+9,则m与n的大小关系为( ) A.m>n C.m≥n

解析:选B.m-n=x+5x+6-(2x+5x+9) =-x-3<0,所以m

2

2

22

B.m

a2b2

2.比较+与a+b(a>0,b>0)两个代数式的大小.

baa2b2a3+b3-a2b-ab2

解:因为+-(a+b)=

baaba2(a-b)+b2(b-a)(a-b)(a2-b2)

==

abab(a-b)(a+b)

=.

2

ab(a-b)(a+b)又因为a>0,b>0,所以≥0,

2

aba2b2

故+≥a+b. ba[基础题组练]

1.(2020·嘉兴期中)若x>y,m>n,下列不等式正确的是( ) A.m-y>n-x C.> B.xm>yn D.x-m>y-n

xynm解析:选A.对于B,x=1,y=-2,m=-1,n=-2时不成立, 对于C,x=1,y=-2,m=-1,n=-2时不成立,

因为x>y,m>n,所以x+m>y+n,所以m-y>n-x.A正确, 易知D不成立,故选A.

β?π?β∈?0,π?,

2.(2020·义乌质检)设α∈?0,?,那么2α-的取值范围是( ) ??2?2?3??

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?5π?A.?0,?

6??

C.(0,π)

?π5π?B.?-,?

6??6?π?D.?-,π?

?6?

βπ

解析:选D.由题设得0<2α<π,0≤≤,

36

πβπβ所以-≤-≤0,所以-<2α-<π.

6363

3.设实数x,y满足0<xy<1且0<x+y<1+xy,那么x,y的取值范围是( ) A.x>1且y>1 C.0<x<1且0<y<1

B.0<x<1且y<1 D.x>1且0<y<1

??xy>0,??x>0,

?解析:选C.??又x+y<1+xy,所以1+xy-x-y>0,即(x-1)(y-?x+y>0??y>0.????x<1,??x>1,?0<x<1,

1)>0,所以?或?(舍去),所以?

?y<1?y>1?0<y<1.???

4.(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是( ) A.若|a|<b,则a>b B.若|a|>b,则a>b C.若a>b,则a>b D.若a>|b|,则a>b

解析:选D.若|a|<b,则a<b,故A错误;若a=b<0,则|a|>b,则a=b,故B错误;

若-a=b<0,则a>b,则a=b,故C错误; 若a>|b|,则a>b,故D正确.故选D.

5.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( ) A.若a>b,则ac>bc B.若>,则a>b

1133

C.若a>b且ab<0,则> 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

abccabab1122

D.若a>b且ab>0,则< 解析:选C.当c=0时,可知A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a>b且ab<011

知a>0且b<0,所以>成立,C正确;当a<0且b<0时,可知D不正确.

3

3

ab6.已知实数a,b,c.( )

A.若|a+b+c|+|a+b+c|≤1,则a+b+c<100

2

2

2

2

2

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B.若|a+b+c|+|a+b-c|≤1,则a+b+c<100 C.若|a+b+c|+|a+b-c|≤1,则a+b+c<100 D.若|a+b+c|+|a+b-c|≤1,则a+b+c<100

解析:选D.取a=10,b=10,c=-110,可排除选项A;取a=10,b=-100,c=0,可排除选项B;取a=10,b=-10,c=0,可排除选项C.故选D.

7.(2020·严州模拟)若a10, 即a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 答案:a1b1+a2b2>a1b2+a2b1

11

8.a,b∈R,a<b和<同时成立的条件是________.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22222

ab11

解析:若ab<0,由a<b两边同除以ab得,>,

ba1111即<;若ab>0,则>. abab11

所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b.

ab答案:a<0<b

9.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 cm,要求菜园的面积不小于216 m,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.

解析:矩形靠墙的一边长为x m,则另一边长为0

??x?

15-x≥216.???2???

0

15-x≥216???2???

10.已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.

解析:因为f(x)过原点,所以设f(x)=ax+bx(a≠0). 1

a=[f(-1)+f(1)],?2?f(-1)=a-b,??

由?得? ?f(1)=a+b,1?

??b=2[f(1)-f(-1)],

2

2

x?30-x? m,即?15-? m,根据题意知

2?2?

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