2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第04讲 平面向量的应用---讲
1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.高考预测：
（1）以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； （2）以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．力学方面应用的考查较少. 3.备考重点：
（1）理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算、数量积运算的方法是关键；
（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，转换成利用坐标运算求解问题.
知识点1．平面向量在几何中的应用
1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 2．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 3. 向量共线的充要条件的坐标表示
若a?(x1，y1)，b?(x2，y2)，则a∥b?x1y2-x2y1?0. 4. 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： （1）a·b＝a1b1＋a2b2. （2）a⊥b?a1b1＋a2b2＝0.
【典例1】（2019·浙江高考模拟）如图，C,D是以AB直径的圆O上的动点，已知AB?2，则
AC?BD的最大值是（ ）
A．
1 2B．5?3 C．
2 2D．3?1
【答案】A 【解析】
如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，
?），则AC=2cosθ， 2
连接CB，则CB?AC，
过O作AC的平行线交圆O于E，交BC于M，且M为垂足， 又知当D、C在AB同侧时，AC?BD取最大值， 设D在OE的投影为N，
当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时AC?BD取最大值， 由向量的几何意义可知，AC?BD=AC又OM=OBcosθ, ∴ME?1?cosθ，
MN，最大时为ACME，
∴AC?BD最大为ACME?2cosθ
cosθ?1?cosθ?1??,当且仅当1??cosθ?2????22??21?时等号成立，即θ=， 231∴ AC?BD的最大值为.
2cosθ=故选A. 【思路点拨】
1.本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段. 本题先将C视为定点，过点O作
AC的平行线交圆O于点E，交BC于M，且M为垂足，设D在OE的投影为N，由向量的几何意义可
知，AC?BD=ACMN，只需当N落在E处时，MN最大，求得AC?BD?2cosθ
1??cosθ，
再由θ∈[0，
?）求得最值即可. 22.涉及求最值问题，往往有两种思路，一是利用几何图形的特征确定最值状态，二是利用函数观点，建立函数关系，求函数的最值.
【变式1】（2019·浙江高三期中）已知向量，满足则【答案】【解析】 如图，
的最小值为______
，
，若对任意实数x都有
，
由，知在上的投影为2，即
，，
，．
，
对任意实数x都有由摄影定理可得
．
设取
，
，可得P在直线BC上，
线段OP的最小值为O到直线BC的距离， 当
时，
．
．
故答案为：
2【典例2】（2019·四川高考模拟（文））直线x?y?a与圆C：?x?1??y2?2交于A，B两点，
向量CA，CB满足CA?CB?CA?CB，则实数a的取值集合为______. 【答案】1?2,1?2 【解析】
??
由CA，CB满足CA?CB?CA?CB，得CA?CB，圆C：?x?1??y2?2的圆心为?1,0?，
2半径为2，点C到直线x?y?a的距离为1，由d?故实数a的取值集合为1?2,1?2. 【思路点拨】
1?a2?1，得a?1?2.
??根据条件可以得到CA?CB，从而得出点C到直线x?y?a的距离为1，进而利用点到直线的距离公式求出a.
【变式2】（2019·江苏高考模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知A?x1,y1?，B?x2,y2?为圆
1x2?y2?1上两点，且x1x2?y1y2??．若C为圆上的任意一点，则CACB的最大值为______．
23【答案】
2【解析】
因为C为圆x2+y2＝1上一点，设C（sinθ，cosθ），则
CA??x1?sin?,y1?cos??,CB??x2?sin?,y2?cos??，
22∵A?x1,y1?，B?x2,y2?为圆x?y?1上两点，
22∴x1?y1?1,122x2?y2?1，又x1x2?y1y2??，
22∴CA?CB?x1x2?y1y2??x1?x2?sin???y1?y2?cos??sin??cos2?
?122??x1?x2???y1?y2?sin(???) 2122??x12?y12?x2?y2?2x1x2?2y1y2sin(???) 2y1?y21?sin(???)，其中tan??，
x1?x22?∵sin(???)∈[﹣1，1]，
∴当sin(???)＝1时，CA?CB的最大值为故答案为：
3． 23． 2
考点1 平面向量与几何图形
【典例3】（2019·江苏高考模拟）在平面四边形ABCD中，
， 则
【答案】【解析】 如图，以
的中点为坐标原点，以
方向为轴正向，
的最小值为____．
， ，．若
建立如下平面直角坐标系.
则设因为所以整理得：在轴上取
，，则
，
，
，
，即：
，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. ，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为.
【总结提升】
向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算
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