2009-2015全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)

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2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

y(x?y)ln(1?)xdxdy?____________，1．计算??其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴

D1?x?y所围成三角形区域.

2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2??20f(x)dx?2, 则f(x)?____________.

x2?y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________. 3．曲面z?24．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则

d2y

?________________. dx2

ex?e2x???enxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x?0n

三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)?并讨论g?(x)在x?0处的连续性.

四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：

（1）xeLe?10且limf(xt)dt，

x?0f(x)求g?(x)?A，A为常数，

x?sinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx；

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（2）xe?Lsiny5dy?ye?sinydx??2.

2

x?xx2x?x五、（10分）已知y1?xe?e，y2?xe?e，y3?xe?e?e是某二阶常系数

x2x线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线y?ax?bx?2lnc过原点.当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线

2与x轴及直线x?1所围图形的面积为转体的体积最小.

1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋3?(x)?un(x)?xn?1ex(n?1,2,?), 且un(1)?七、（15分）已知un(x)满足un级数

e, 求函数项n?un?1?n(x)之和.

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八、（10分）求x?1时, 与

??xn?0?n2等价的无穷大量.

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（25分，每小题5分）

（1）设xn?(1?a)(1?a2)L(1?a2),其中|a|?1,求limxn.

n??n（2）求limex???x?1??1??。 ?x?x2（3）设s?0，求I???0e?sxxndx(n?1,2,L)。

22?2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求2?2。

?x?y?r?（5）求直线l1:??x?y?0x?2y?1z?3与直线l2:的距离。 ??4?2?1?z?0二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且

f??(x)?0,limf?(x)???0,limf?(x)???0,且存在一点x0，使得f(x0)?0。

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?x?2t?t2(t??1)所确定，其中?(t)具有二阶三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程??y??(t)导数，曲线y??(t)与y?

四、（15分）设an?0,Sn????t21e?udu?23在t?1出相切，求函数?(t)。 2e?a,证明：

kk?1n（1）当??1时，级数

an??收敛； n?1Snan??发散。 Sn?1n??（2）当??1且sn??(n??)时，级数

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