2009-2015全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)

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四、（满分12分）设f?x???,f??x????0?a?x?b?，证明?sinf?x?dx?ab2 m

五、（满分14分）设?是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分I???x3?xdydz?2y3?ydzdx?3z3?zdxdy。试确定曲面?，使积分I的

???????值最小，并求该最小值。

ydx?xdy六、（满分14分）设Ia?r???，其中a为常数，曲线C为椭圆?22aC?x?y?x2?xy?y2?r2，取正向。求极限limIa?r?

r???

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11?L?2n的敛散性，若收敛，求其和。 七（满分14分）判断级数?n?1?n?1??n?2??1?

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2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试题

一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)

1. 已知y1?ex和y1?xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___ _________________________________

2. 设有曲面S:z?x2?2y2和平面L:2x?2y?z?0。则与L平行的S的切平面方程是_______________________________ 3. 设函数y?y(x)由方程x??4. 设xn??ny?x1dy??t??_______________ sin2??dt所确定。求dx?4?x?0k。则limxn?______________________

n??(k?1)!k?11xf(x)?f(x)??e3。则lim2?____________________ 5. 已知lim?1?x??x?0x?0xx??二、 三、

（本题12分）设n为正整数，计算I???2n?e1d?1?cos?ln?dx。 dx?x?（本题14分）设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得

B。 2|f\(x)|?B。证明：对任意x?[0,1]，有|f'(x)|?2A?

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四、 为

（本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积

?3（2）设球体(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?12被(3R?h)h2。球冠面积为2?Rh；

平面P:x?y?z?6所截得小球缺为?，记球冠为?，方向指向球外。求第二型曲面积分

I???xdydz?ydzdx?zdxdy

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