2009-2015全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

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五、

（本题15分）设f在[a,b]上非负连续，严格单增，且存在xn?[a,b]，

n1b使得[f(xn)]?[f(x)]ndx。求limxn ? 六、

文案大全b?aan??15分）设Ann?n2?1?nn2?22???nn2?n2。求limn??n????4?A?n?? （本题

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2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

?2???sinsin?sin??（1）极限limn?2n?2n?L?2?? . n??n?n??n?1n?2???zz?（2）设函数z?z?x,y?由方程F?x?,y???0所决定，其中F?u,v?具有连续

yx??偏

x导数，且

xFu?yFv?0。则

?z?z?y? . ?x?y（3）曲面z?x2?y2?1在点M?1,?1,3?的切平面与曲面所围区域的体积是 .

??3,x???5,0?（4）函数f?x???在??5,5?的傅立叶级数在x?0收敛的值

??0.x??0,5?是 .

（5）设区间?0,???上的函数u?x?定义域为的u?x???e?xtdt，则u?x?的初等

??20函数表达式是 . 二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

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三、（12分）设f?x?在?a,b?二次可导，且存在常数?,?，使得对于?x??a,b?，有f??x???f?x???f?x?，则f?x?在?a,b?无穷次可导。

n3?2n四、（14分）求幂级数??x?1?的收敛域，及其和函数。

n?0?n?1?!?

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五、（16分）设函数f?x?在?0,1?上连续，且?f?x?dx?0,?xf?x?dx?1。试证：

1100（1）?x0??0,1?使f?x0??4 （2）?x1??0,1?使f?x1??4

六、（16分）设f?x,y?在x2?y2?1上有连续的二阶偏导数，且

222fxx?2fxy?fyy?M。若

f?0,0??0,fx?0,0??fy?0,0??0,证明：

x2?y2?1??f?x,y?dxdy??M4。

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