1．(2018·高考天津卷)我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程．假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s.已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度取g＝10 m/s2.求飞机滑跑过程中
(1)加速度a的大小； (2)牵引力的平均功率P.
解析：(1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有 v2＝2ax 代入数据解得 a＝2 m/s2.
(2)设飞机滑跑受到阻力为F阻，依题意有 F阻＝0.1mg
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有 F－F阻＝ma
设飞机滑跑过程中的平均速度为v，有 vv＝
2
在滑跑阶段，牵引力的平均功率 P＝Fv
联立②③④⑤⑥式得 P＝8.4×106 W.
答案：见解析 2．(2019·高考北京卷)雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关．雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g.
(1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力
⑥ ⑤ ④ ③ ② ①
所做的功W.
(2)将雨滴看做半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f＝kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数．
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2(r1>r2)的雨滴在空气中无初速下落的v－t图线，其中________对应半径为r1的雨滴(选填“①”或“②”)；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v－t图线．
(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零．将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2(提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0)．
1
解析：(1)根据动能定理mgh－W＝mu2
21
可得W＝mgh－mu2.
2
(2)a.根据牛顿第二定律mg－f＝ma kr2v2
得a＝g－
m
当加速度为零时，雨滴趋近于最大速度vm 4
雨滴质量m＝πr3ρ
3
由a＝0，可得，雨滴最大速度vm＝b．图线①对应半径为r1的雨滴； v－t图线如图1.
4πρgr. 3k
(3)根据题设条件：大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零．以下只考虑雨滴下落的定向运动．
简化的圆盘模型如图2.设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变．在Δt时间内，与圆盘碰撞的空气分子质量为
Δm＝SvΔtnm0
以F表示圆盘对气体分子的作用力，根据动量定理，有 FΔt∝Δm×v 得F∝nm0Sv2
由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力f∝v2 采用不同的碰撞模型，也可得到相同结论．
答案：见解析
3. 如图所示，半径R＝1.0 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ＝37°，另一端点C为轨道的最低点．C点右侧的水平路面上紧挨C点放置一木板，木板质量M＝1 kg，上表面与C点等高．质量m＝1 kg的物块(可视为质点)从空中A点以v0＝1.2 m/s 的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ1＝0.2，木板与路面间的动摩擦因数μ2＝0.05，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
(1)求物块经过B端时速度的大小；
(2)求物块经过轨道上的C点时对轨道的压力大小；
(3)若木板足够长，请问从开始平抛至最终木板、物块都静止，整个过程产生的热量是多少？
解析：(1)根据运动的合成与分解，B点速度方向与水平方向夹角为53°，故vB＝2 m/s.
(2)物块从B到C应用动能定理，有 112
mg(R＋Rsin θ)＝mv2C－mvB 22
v0＝sin θ
解得vC＝6 m/s
v2C在C点，由牛顿第二定律得F－mg＝m·
R解得F＝46 N
由牛顿第三定律知，物块经过圆弧轨道上的C点时对轨道的压力大小为46 N. (3)物块从A到C过程中无能量损失，所以整个过程产生的热量就是从C到最终木板、12
物块都静止这一过程中产生的热量，由能量守恒定律得Q＝mvC＝18 J.
2
答案：(1)2 m/s (2)46 N (3)18 J 4．(2019·滨州二模)如图所示，光滑水平面MN的左端M处固定有一能量补充装置P，使撞击它的物体弹回后动能在原来基础上增加一定值．右端N处与水平传送带恰好平齐且靠近，传送带沿逆时针方向以恒定速率v＝6 m/s匀速转动，水平部分长度L＝9 m．放在光滑水平面上的两相同小物块A、B(均视为质点)间有一被压缩的轻质弹簧，弹性势能Ep ＝9 J，弹簧与A、B均不粘连，A、B与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，物块质量mA＝mB＝1 kg.现将A、B同时由静止释放，弹簧弹开物块A和B后，迅速移去轻弹簧，此时，A还未撞击P，B还未滑上传送带．取g＝10 m/s2.
(1)求A、B刚被弹开时的速度大小；
(2)试通过计算判断B第一次滑上传送带后，能否从传送带右端滑离传送带；
(3)若B从传送带上回到光滑水平面MN上与被弹回的A发生碰撞后粘连，一起滑上传送带．则P应给A至少补充多少动能才能使二者一起滑离传送带？
解析：(1)弹簧弹开的过程中，系统机械能守恒 112Ep＝mAv2A＋mBvB 22
由动量守恒有mAvA－mBvB＝0
联立以上两式解得vA＝3 m/s，vB＝3 m/s.
(2)假设B不能从传送带右端滑离传送带，则B做匀减速运动直到速度减小到零，设位移为s.
1由动能定理得－μmBgs＝0－mBv2B 2解得s＝＝2.25 m
2μg
v2Bs 由功能关系可知：E＋mAvA＝mAv21 22 由物块B在传送带上先向右做匀减速运动，直到速度减小到零，然后反方向做匀加速运动．由运动的对称性可知，物块B回到皮带左端时速度大小应为 v2＝vB＝3 m/s. B与A发生碰撞后粘连共速为v′，由动量守恒定律可得： mAv1－mBv2＝(mA＋mB)v′ 要使二者能一起滑离传送带，要求 1 (mA＋mB)v′2≥μ(mA＋mB)gL 2 由以上四式可得：E≥108 J. 答案：见解析
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