数学分析（3）复习参考题
1.叙述并证明R2上的柯西准则、闭域套及聚点存在定理.2.叙述重极限与累次极限概念，并论述它们的关系.3.证明下述极限：
xy?1(x2?y2)lim?2（1）limxy?2；（2）?023/2(x,y)?(2,??)(x,y)?(0,0)y?2(x?y)4.讨论下述函数f(x,y)在(0,0)处的累次极限与重极限的存在性：
xyx2?y2sin(x2y)（1）f(x,y)?2；（2）f(x,y)?；（3）f(x,y)?2.22x?yx?yx?y5.论述二元函数连续与单变量连续之间的关系.
6.证明：若f(x,y)在有界闭域D(?R2)上连续，则f(x,y)在D上有界、一致连续而且最值存在.
7.叙述二元函数可导与可微的概念；论述可微、可导及连续之间的关系.8.求下列函数的偏导数与全微分：（1）z?arcsinxx?y22；（2）z?xy?yx（3）z?x2f(xy,xy?1)；（4）u?f(x,xy,xyz).
9.论述可微、方向导数存在及连续之间的关系.
10.叙述高阶偏导数与高阶全微分的概念；叙述并证明二元函数中值定理及泰勒公式.
11.叙述并证明二元函数极值存在的必要条件与充条件.12.求下述函数的二阶偏导数：
（1）z?sin(x2?y2)；（2）z?arctan(x?1y)；
（3）z?x?1f(xy)?y?(x?y)；（4）z?f(xy,x?1y).
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13.求下述函数在(0,0)处的二阶泰勒展开式：（1）z?ln(1?x?y)；（2）z?f(x2?y2（3）z?f(x,y)，其中x?t2，y?t3.14.求下列函数的极值：
)；
（1）z?x2?2y2?4x?8y?6；（2）z?x2?xy?y2；（3）z?(x2?y2)e?(x2
.
?y2)
15.求函数f(x,y)?x2?2x2y?y2在D?{(x,y)|x2?y2?1}上的最大值与最小值.
16.叙述二元（及n元）隐函数存在唯一性、连续性及可微性定理；叙述隐函数组及反函数组存在可微性定理.
17证明方程y?x?2?1siny?0在(0,0)的某邻域内能确定隐函数y?y(x)，并求y?(x)
18.试问由方程3x?2y2?z3?6xyz在(1,1,1)附近能确定什么样的函数？在此基础上，进一步设u?f(x2?y2?z2)（其中f是可微函数），试问如何计算
ux(1,1,1)？
19.设由方程F(x?y,x?y?z)?0确定隐函数z?z(x,y)，试求zxx与dz.
20.（1）求抛物面z?ax2?by2在点M(x0,y0,z0)上的切平面与法线方程；
（2）求球面x2?y2?z2?50与锥面x2?y2?z2的交线在P0(3,4,5)处的切线与法平面方程.
3 22.（1）求函数f(x,y,z)?x?y?z在条件xyz?c（其中c?0）下的极值；
21.叙述条件极值的拉格郎日乘子法及条件极值的必要条件与充分条件.
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（2）求函数f(x,y,z)?lnx?2lny?3lnz在x2?y2?z2?6r2的极值；并证明：
?a?b?c??a,b,c?0，有ab2c3?108??.
6??6
23.叙述第一型与第二型曲线积分的概念、几何意义、物理意义及基本性质.
24.给出第一型曲线与第二型曲线积分的联系公式.25.计算下列曲线积分：
e（1）I?? Lx2?y2ds，其中L由y?0，y?x及x2?y2?a2所围区域在第一
象限的扇形区域的整个边界；
L（2）J??(2x2?3y2)ds，其中L为x2?y2?2(x?y)；
L（3）K??x2ydx?y3dy，其中L为y3?x2和y?x所围成的封闭曲线（按逆时针方向）；
L
（4）其中L为由点(1,1,1)到点(1,3,4)的直线段.M??xdx?ydy?(x?y?1)dz，26.叙述二重积分的概念及基本性质；证明二重积分的中值定理及保序性定理.
1r?0?r2x2?y2?r227.（1）设f(x,y)为连续函数.证明：lim??f(x,y)dxdy?f(0,0)；
（2）估计积分
x?ydxdy的取值范围.22??4?x?yx2?y2?1
28.更改下述累次积分的次序：（1）? 0dx? 0 ? sinx
2 2?x -6 4?1(x2?4)f(x,y)dy； （2）? dx?f(x,y)dy.
29.计算下述二重积分：
2 x 4 2??x???x???（1）?dx?sin?dy?dxsin???2y??2y??dy； 1 x 2 x????第 3 页
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