华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总

八、(20分)设?是区间I上定义的函数族。若

???0,???0,当x1,x2?I且x1?x2??时，对所有f??,都有f(x1)?f(x2)??，则称函数族?在区间I上等度连续。

设函数列?fn(x)?各项在[a,b]上连续，且?fn(x)?在[a,b]上一致收敛于函数f(x),证明：函数列?fn(x)?在[a,b]上等度连续。

2010年华南师范大学数学分析

xn1.已知y?，求对y进行n阶求导得到的公式。

1?x

(1?n)n2.已知?p?n(p?0)，求p取不同值的敛散性。

n

3.已知f(x)?x?x?f(t)dt?2?f(t)dt，求f(x)的值。

00221

4.在?an?数列中，存在M>0时，a1?a2???an?M，证明?an?收敛。

5.已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，g(x)在[a,+∞)上一致连续，lim[f(x)?g(x)]存

x???在，证明f(x)在[a,+∞)上一致连续。

6.f(x)在(-∞,0)上有f(x3)?f(x),且limf(x)?lim?f(x)?f(?1),

x???x?0求证f(x)?f(?1),x?(??,0).

7.f(x)、g(x)在[a,+∞)上可微，当x?a时，有f?(x)?g?(x),

求f(x)?f(a)?g(x)?g(a).

8.f(x,y)在D内关于偏导数y连续，fx(x,y)在D上存在且有界，求证f(x,y)在D上连续。

9.已知一条封闭曲线L,n为它的外法向量,l是任意方向的向量，求证cos(l,n)ds?0.

L?