∥1AD，[变式训练1] 如图7-2-3所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC═2∥1FA，G，H分别为FA，FD的中点． BE═2
图7-2-3
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
【导学号：57962329】
∥1AD. [解] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH═2∥1AD， 又BC═2
∥BC，∴四边形BCHG是平行四边形. ∴GH═
(2)C，D，F，E四点共面，理由如下： ∥1AF，G为FA的中点知BE∥GF， 由BE══2∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
空间直线的位置关系 (1)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在
平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交
12分 8分 5分 2分
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)(2017·郑州模拟)在图7-2-4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
① ② ③ ④
图7-2-4
(1)D (2)②④ [(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
[规律方法] 1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
[变式训练2] (2017·烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b
M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( )
A．①④ C．③④
B．②③ D．①②
A [对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b
M，a∥b，则a∥M或a
M，②为假命题．命题③中，a与b
相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]
异面直线所成的角 (1)如图7-2-5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
图7-2-5
1
A.5 2B.5 3C.5 4D．5
(2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
3231A.2 B.2 C.3 D.3 (1)D (2)A [(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角． 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2， 则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5， 在△A1BC1中，由余弦定理得 4
cos∠A1BC1＝＝.
2×5×55(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 3
故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为2.]
[规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
2．求异面直线所成角的三个步骤：
(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．
5＋5－2
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