第15届WMO世界数学奥林匹克竞赛九年级数学复赛试题B卷(含答案)

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第15届WMO世界数学奥林匹克竞赛九年级数学复赛试题B卷(含答

案)

第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛

--------------------------------------------------------------------------------- 考生须知： 1. 每位考生将获得一份试卷。考试期间，不得使用计算工具或手机。 2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。 3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。 4. 若计算结果是分数，请化至最简。 九年级地方晋级赛复赛B卷 （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．将4.31×10-5写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（ ） A．0 B．1 C．3 D．4 2．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成 的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位 似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2 倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A′的纵坐标是（ ） A．3 B．－3 C．－4 D．4 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，已知∠MON=60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的 平行线交OM于点B，AB=4．则直线AB与ON之间的距离是（ ） A． B．2 C． D．4 5．如图，圆O为△ABC的外接圆，其中点D在弧AC上，且OD⊥AC，若∠A=36°，∠C= 60°，则∠BOD的度数为（ ） A．132° B．144° C．156° D．162° 6．已知 ，其中A、B为常数，则4A－B的值为（ ） A．7 B．9 C．13 D．5 7．如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式组 mx＞kx+b＞mx－2的解集是（ ） A．x＞1 B．0＜x＜2 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2 8．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中 点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是

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为（ ） A． B． C．1 D． 第7题图 第8题图 第9题图 9．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD、BC上，若点E与点B关于AC 对称，点E与点F关于BD对称，AB=1，则cos∠AGB等于（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函 数y= （x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y= （x＞0， k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′， 点C关于x轴的对称点为C′，CC′交x轴于点B，连接AB、AA′、 A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所 围成的图形的面积等于（ ） A．8 B．10 C．3 D．4

二、填空题（每小题5分，共30分） 11．若2m=3，4n=8，则2m-2n的值是____________． 12．如图，将边长为2的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正 方形的中心O所经过的路径长为____________． 第12题图 第13题图 13．如图，抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别 为C、D．当四边形ACBD的面积为40时，a的值为_____________． 14．m、n是两个连续自然数，且q=mn，p= ，则p的值是 ．（填 “奇数”、“偶数”或“奇偶都可以”） 15．甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的 ，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的 ．小荣将乙、丙两箱内的球 全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出 的球是红球的概率为_____________． 16．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平 分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M， 对于下面三个结论：①GH⊥BE；②S正方形ABCD：S正方形ECGF=1： ； ③EM：MG=1：（1+ ），其中正确结论的序号为 ．

三、解答题（共5小题，共50分） 17．请分别用配方法和因式分解法解方程：6x2+7x－3=0．（8分） 配方法： 因式分解法： 18．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．试说明点（a，b），（c，d）和坐标原点 O（0，0）在同一条直线上．（9分）

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19．如果有理数m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为 “世博数”．证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．（10分）

20．如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD 于F、G、H． （1）求证：CF=2DH；（4分） （2）若AB=BC，cos∠BCA= ，DE=4，求HD的长．（6分） 21．在平面直角坐标系中，以D（－4， ）为圆心的⊙D与y轴相切于点Q，与x轴交于A、 B两点，其中点B坐标为（－1，0）．以CD为对称轴的抛物线与⊙D交于A、B两点，点 C坐标为（－4，9），CD与x轴交于点H． （1）求抛物线和直线AC的解析式；（3分） （2）P为直线AC上方抛物线上一点，当S△APC= S△AHC时，求点P坐标；（4分） （3）PM⊥AC于点M，PE⊥x轴于点E且与AC交于点N，△PMN的周长为l，求l的最大 值．（6分）