空间角练习题
1． 二面角是指 （ D ） A 两个平面相交所组成的图形
B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形
C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形 D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ D ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线
C 仅2条交线 D 1条或2条或3条交线
3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( B )
A 5 B 20 C 102 D52
24．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB与面β所
成的角为600
，则AC与平面β所成的角为 （ A ） A 300 B 450 C 600 D 1200
A 5．如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=62， D 则弧度数为600的二面角是（ A ）
A D-AC-B B A-CD-B C A-BC-D D A-BD-C B 6．△ABC在平面α的射影是△A角，有（C
1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θB） A S△A1B1C1=S△ABC·sinθ B S△A1B1C1= S△ABC·cosθ
C S△ABC =S△A1B1C1·sinθ D S△ABC =S△A1B1C1·cosθ
P 7．如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB⊥l，B为垂足， N A为l上一点，且∠PAB=α，PA与平面M所成角为β，二面 角M-l-N的大小为γ，则有 （ B ） B A sinα=sinβsinγ B sinβ=sinαsinγ C sinγ=sinαsinβ D 以上都不对
M l A 8．在600
的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直
于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 7cm 。
9．已知△ABC和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，AB?α，且平面ABC与α所成角为300
，则点C到平面α的距离为 34 。 10．正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面A1BCD1所成的二面角（锐角）为 ?3 。
1
11．已知菱形的一个内角是600，边长为a，沿菱形较短的对角线折成大小为600的
二面角，则菱形中含600
角的两个顶点间的距离为
3a 。
212．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和2a，到棱的距离为2a，
则此二面角的度数是 700或1650
。
13．把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若∠BAC=600，则
此二面角的度数是 900 。
14．如图，△ABC在平面α内的射影为△ABC1，若∠ABC1=θ，BC1=a,且 C 平面ABC与平面α所成的角为ψ，求点C到平面α的距离
asin?tg?
A
C1
α B 15．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC，它与棱AB成450角，AC与平面β成300角，求二面角α-AB-β的度数。（ 450 ） 16．如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直线BD与
C 平面ABEF所成角的正弦值。正弦值为64
D
B E A 17．如图，在棱长为a的正方体ABCD—AF 1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1—BD—C的正切值。 (1)900 (2)正切值为2
DC AB D C
A B
18. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D
的大小。
PB?PD????AB=AD=aPA?AD??PB?PD，BC?DC???PBD??PDC
AB?AD?a?PC?PC???PA?AB20.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
AD?PA??（面积法）如图AD?AB??AD?PBA于A
PA?AB?A??P【法一】
P 过B作BH⊥PC于H，连结DH
DH⊥PC 故∠BHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB=2a,BC=a,PC=3a,1PB·BC=S△PBC=
1PC·BH
A22 则BH=
a=DH又BD=
32a 在△BHD中由余弦定理，得：
?2222?6a?????6a????3??3??2a?2cos∠BHD＝
BH?DH?BD22BH?BD???12?6623a?3a又0＜∠BHD＜π 则∠BHD=2? ，二面角B-PC-D的大小是2?33
19.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a， ∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。 解：（三垂线法）如图 PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC
又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角， 在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=a2，
在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=
aa?2 ，
2则∠PHA=arctan2. B
2
同时，BC⊥平面BPA于B ，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影，设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ，则
Bcosθ=
SAs?PBAH?2 Dθ=45°
?PCD2【法二】（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD补
形得正方体ABCD-PQMN， 则 PQ
⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。即平面BAP与平
面PDC所成二面角的大小为45°
Q21.如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． P （1）求EF与平面PAD所成角的大小； （2）求EF与CD所成角的大小； B（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小．
F 解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°； A D (2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°； E (3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得B C ∠FEOD1 C1
L22.如图，p＝45°． ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1 A1 —BD—C的大小为60°，求异面直线BCB1 1与AC所成
的角的大小．答案：arccos
55
D C
23.A在等腰梯形ABCDD中，AB＝20，CD＝12，它的高为215，以A 底
边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120B
°的二
面角，求：
D N C ⑴H AC1的长；
C⑵ AC1与MN所成的角；
⑶ AC1与平面ADMN所成的角．
A M B B PA
答案：(1) 16 (2) arcsin7 (3) arcsin33816
24.已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S S为平面ABCD外一点，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠D SCA＝30°，求：[来源:Z,xx,k.Com]
⑴ 二面角S－CB－A的大小； C O A ⑵ 直线SC与AB所成角的大小． B 答案：(1) arctan
233 (2) arccos
34
25. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求： ⑴ AD与平面DBC所成的角； ⑵ 二面角A－BD－C的正切值．
A 解：(1) 作AE⊥BC交BC的延长线于E， B 由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45°(2) 作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2
D
C
26.正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点．
B B⑴ 求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
⑵ 求证：AB1∥平面BEC1；
A A⑶ 若A1A?2，求二面角E－BCE 1－C的大小．
AB2答案：(1) 略 (2) 略 (3) 45°
C C27.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的
点.(1) 当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30°； (2) 在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角.
解(1) 取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M，
C M C1 由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA.
∴∠B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角， B B1 设C21M＝x，B1N1＝2a.
sin < BB1MN1＝1N1?2B?a2?1A1
1M2/x22, 解得x＝a，
A 则C11M＝2C1C, ∴M为C1C的中点.
(2) arccos
1515
B C 28.已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、
CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二 面角A—DE—C的大小为?(0????)，若△ACD E F 为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G
3
A D 是否在直线EF上，证明你的结论，并求角?的余弦值．
A 解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上， 过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G， B C 连结GC、GD．
∵△ACD为正三角形，[来源:学。科。网] E F
∴AC＝AD，∴GC＝GD，
∴G在CD的垂直平分线上，又∵EF是CD的垂直平分线， ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH⊥ED，垂足为D
H，连结AH，则AH⊥DE．∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG＝?， 设原正方形ABCD的边长为2a，由直角三角形的射影定理， 可得AH＝2a，GH＝
a，
525∴cos??GHAH?14．
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