2020年中考数学系列复习之最大值最小值专项训练题(附答案详解)

2020年中考数学系列复习之最大值最小值专项训练题（附答案详解）

1．已知二次函数y?ax2?bx?c同时满足下列条件：对称轴是x?1；最值是15；二 次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15?a，则b的值是（ ）A．4或?30

B．?30

C．4

D．6或?20

2．如图，AB为⊙O的直径，AB?4，点C为半圆AB上动点，以BC为边在⊙O外作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD，当点C运动时，则线段OD的长（ ）

A．随点C的运动而变化，最大值为2?22 B．不变 C．随点C的运动而变化，最小值为22 D．随点C的运动而变化，但无最值

3．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最值是_____．

4．如图1，?ABC和?DEC均为等腰三角形，且?ACB??DCE?90o，连接BE，

AD，两条线段所在的直线交于点P.

（1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由. （2）若已知BC?12，DC?5，?DEC绕点C顺时针旋转， ①如图2，当点D恰好落在BC的延长线上时，求AP的长；

②在旋转一周的过程中，设?PAB的面积为S，求S的最值.

12x?x?4与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B．若2N点是AC所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点N作MN平行于y轴，交

5．如图，抛物线y?AC于点M．

(1) 求直线AC的解析式；

（2）当点N运动至抛物线的顶点时，求此时MN的长； （3）设点N的横坐标为t，MN的长度为l；

①求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②l是否存在最值，有如有写出最值；

（4）点D是点B关于y轴的对称点．抛物线上是否有点N，使△ODM是等腰三角形？

若存在，请求出此时△CAN的面积；若不存在，请说明理由．

6．阅读下面文字:

求代数式x2?4x?7的最值，我们可以这样做：

x2?4x?7?x2?4x?4?3??x?2??3,因为?x?2?≥0，所以当x=2时，该代数

2??2式有最小值，最小值为3.

仿照以上方法，求（1）a2?8a?3的最值.

2（2）?y?2y?2的最值.

7．用配方法求二次函数y??12x?3x?2的最值. 28．已知二次函数y?x2?bx?c的图像经过点(4,3)和点(2,?1)，求该函数的表达式，

x3时，y的最值. 并求出当0剟

9．设函数y??kx-3??x?1?（其中k为常数）.

（1）当k=-2时，函数y存在最值吗？若存在，请求出这个最值；

（2）在x＞0时，要使函数y的的值随x的增大而减小，求k应满足的条件； （3）若函数y的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求能使△ABC为等腰三角形的k的值.（分母保留根号，不必化简）

10．已知抛物线y=ax2?bx?c（a≠0）与x轴交于A?B两点,与y轴交于C点,其对称轴为x=1,且A（-1,0）?C（0,2）. （1）直接写出该抛物线的解析式;

P是对称轴上一点,△PAC的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（2）（最大值或最小值）时点P的坐标;

（3）设对称轴与x轴交于点H,点D为线段CH上的一动点（不与点C?H重合）.点P是（2）中所求的点.过点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD?PE.若CD的长为m,△PDE的面积为S,求S与m之间的函数关系式,试说明S是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出S取得的最值及此时m的值;若不存在,请说明理由.

11．实践体验：

（1）如图1：四边形ABCD是矩形，试在AD边上找一点P，使△BCP为等腰三角形；（2）如图2：矩形ABCD中，AB=13，AD=12，点E在AB边上，BE=3,点P是矩形ABCD内或边上一点，且PE=5，点Q是CD边上一点，求PQ得最值； 问题解决：

（3）如图3，四边形ABCD中,AD∥BC，∠C=90°，AD=3，BC=6，DC=4,点E在AB边上，BE=2，点P是四边形ABCD内或边上一点，且PE=2，求四边形PADC面积的最值．

12．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB?CD?5，AD?6，BC?12． （1）求四边形ABCD的面积．

（2）点P是线段AD上的动点，连接BP、CP，求VBCP周长的最小值及此时AP的长．

（3）点P是线段AD上的动点，N、M为边BC上的点，BM?CN?5，连接AN、

DM，分别交BP、CP 于点E、F，记VADG和△BPC重叠部分的面积为S，求

S的最值．

13．如图，直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，且顶点Q在直线AB上．

（1）求a，b的值．

AP、BP，△OAP（2）点P是第四象限内抛物线上的点，连结OP、设点P的横坐标为t，的面积为s1，△OBP的面积为s2，记s＝s1+s2，试求s的最值．

14．如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；

（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；

（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请

说明理由．

15．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的关系式；

（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m，△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；

（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．问题提出

(1)如图①，∠A＝120°AB＝AC＝5， 在△ABC中，，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．问题探究

(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值． 问题解决

(3)如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC

＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC

?、F．E、F．路边分别建物资分站点E、也就是，分别在BC线段AB和AC上选取点P、由

于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，EF和FP．要在各物资站点之间规划道路PE、为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．

图① 图② 图③

17．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0）和点C，与y轴交于点B．

（1）求抛物线解析式和点B坐标；

（2）在x轴上有一动点P（m，0）过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线与点M，当点M位于第一象限图象上，连接AM，BM，求△ABM面积的最大值及此时M点的坐标；

（3）如图2，点B关于x轴的对称点为D，连接AD，BC．

①填空：点P是线段AC上一点（不与点A、C重合），点Q是线段AB上一点（不与点A、B重合），则两条线段之和PQ+BP的最小值为 ；

②填空：将△ABC绕点A逆时针旋转a（0°＜α＜180°），当点C的对应点C′落在△ABD的边所在直线上时，则此时点B的对应点B′的坐标为 ．

18．如图，已知抛物线y?a?x?1??x?3?（a为常数，且a?0）与x轴交于点A、3，与y轴交于点C0,?3，点P是线段BC上一个动点，B（点A位于点B的左侧）点P横坐标为m.

??

（1）求出抛物线的解析式；

（2）判断?ABC的形状，并求出?ABC的面积；

（3）如图1，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，过点D作DE?BC于点E，设?PDE的面积为S，求S的最大值；

（4）如图2，F为AB中点，连接FP，一动点Q从F出发，沿线段FP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PC以每秒2个单位的速度运动到C后停止.若点Q在整个运动过程中的时间为t秒，请直接写出t的最小值及此时点P的坐标. 19．（数学概念）

若等边三角形的三个顶点D、E、F分别在△ABC的三条边上，我们称等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形． （概念辨析）

（1）下列图中△DEF均为等边三角形，则满足△DEF是△ABC的内接正三角形的是 ．

A． B．

C．

（操作验证）

（2）如图①．在△ABC中，∠B＝60°，D为边AB上一定点（BC＞BD），DE＝DB，EM平分∠DEC，交边AC于点M，△DME的外接圆与边BC的另一个交点为N．

求证：△DMN是△ABC的内接正三角形．

（知识应用）

（3）如图②．在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝45°，BC＝2，D是边AB上的动点，若边BC上存在一点E，使得以DE为边的等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形．设△DEF的外接圆⊙O与边BC的另一个交点为K，则DK的最大值为 ，最小值为 ．

20．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．

（1）发现

①线段DE、BG之间的数量关系是 ； ②直线DE、BG之间的位置关系是 ． （2）探究

如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请

给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用

如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．

21．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF和FM． ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，EF=_______；

FMABOEMCFD图1

②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转?角（0o???60o），其他条件不变，判断EF的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

FMAOEBMCFD图2

（2）如图3，若BO=33，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

APBNDOC图3

22．如图1，直线l：y=x+3与x轴负半轴、y轴正半轴分别相交于A、C两点，抛物线y=﹣

32

x+bx+c经过点B（1，0）和点C． 3

（1）求抛物线的解析式； （2）已知点Q是抛物线y=﹣32

x+bx+c在第二象限内的一个动点． 3①如图1，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时点Q的坐标．

23．如图，直线l：y=x﹣3 与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点，抛物线y=

32

x+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C． 3（1）填空：直接写出抛物线的解析式：_____； （2）已知点Q是抛物线y=32

x+bx+c在第四象限内的一个动点． 3①如图，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关

系式，并求出S的最大值；

②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时Q点的坐标．

24．我市某蔬菜种植农户购买白菜苗和西红柿苗共1000株，其中白菜苗每株3元，西红柿苗每株5元．已知该农户打算用不少于3600元但不多于3800元的资金购买两种蔬菜．

（1）求该农户可以购买白菜苗株数的最大值和最小值；

（2）该农户按（1）中购买白菜苗株数的最小值的方案购买两种蔬菜苗，经过农户的精心培育，两种蔬菜苗全成活．根据以往的数据分析，平均一株白菜苗可长成2千克白菜，平均一株西红柿苗可结3千克西红柿．农户计划采用直接销售和生态采摘销售两种方式进行销售，其中直接销售白菜的售价为每千克4元，直接销售西红柿的售价为每千克5元；生态采摘销售时两种蔬菜的售价一样，都比直接销售白菜的售价高a%，但生态采摘过程中会有10%的损耗．当白菜和西红柿各直接销售一半后、剩下的全部采用生态采摘销售时，该农户可获得8080元的利润．求a的值．

25．如图，抛物线y=ax2﹣5ax﹣4交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C，过点C作CD∥AB，交抛物线于点D，连接AC、AD，AD交y轴于点E，且AC=CD，过点A作射线AF交y轴于点F，AB平分∠EAF． （1）此抛物线的对称轴是 ； （2）求该抛物线的解析式；

（3）若点P是抛物线位于第四象限图象上一动点，求△APF面积S△APF的最大值，以及此时点P的坐标；

（4）点M是线段AB上一点（不与点A，B重合），点N是线段AD上一点（不与点A，D重合），则两线段长度之和：MN+MD的最小值是 ．

26．操作探究：

数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：

探究：

（1）若∠1=70°，∠MKN= °；

（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是 三角形，请说明理由； 应用：

（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根 据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为，此时∠1的大小可以为 °（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．

27．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

请你回答：AP的最大值是 ．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 ．（结果可以不化简）

28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

29．如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A（1，0），B（－3，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求b，c的值．

（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值． 若不存在，请说明理由．

（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

30．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE．

（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是 度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE的面积； （3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．

31．已知：如图1，在平面直角坐标系中，A（2，－1），以M（－1，0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B，连结BM并延长交⊙M于点C，动点P在线段BC上运动，长为

5的线段PQ∥x轴（点Q在点P右侧），连结AQ． 3（1）求⊙M的半径长和点B的坐标； （2）如图2，连结AC，交线段PQ于点N，

①求AC所在直线的解析式；

②当PN=QN时，求点Q的坐标；

（3）点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值．

32．如图①，△ABC和△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDF＝90°，点D在AB上，以CA，CD为邻边作平行四边形CAED，连接EA，EF． （1）求证：EA＝EF且EA⊥EF；

（2）将图①中△BDF绕点B顺时针旋转，其它条件不变，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．

（3）若BC＝3，BD＝2，将图①中△BDF绕点B顺时针旋转180°，直接写出AF的最大值和最小值．

33．已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动． ABCD，顶点B的坐标为（?13，0）

（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由； （2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．

34．（1）如图1，等边三角形ABC的边长为4，两顶点B、C分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，显然，当OA⊥BC于点D时，顶点A到原点O的距离最大，试求出此时线段OA的长．

（2）如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，两顶点B、C分别在x轴的正半制和y轴的正半轴上运动，求出顶点A到原点O的最大距离．

（3）如图3，正六边形ABCDEF的边长为4，顶点B、C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，直接写出顶点E到原点O的距离的最大值和最小值．

35．已知，△AOB中，AB=BC=2,∠ABC=90°，点O是线段AC的中点，连接OB，将△AOB绕点A逆时针旋转α度得到△ANM，连接CM，点P是线段CM的中点，连接PN、PB．

（1）如图1，当α=180°时，直接写出线段PN和PB之间的位置关系和数量关系； （2）如图2，当α=90°时，探究线段PN和PB之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程；

（3）如图3，直接写出当△AOB在绕点A逆时针旋转的过程中，线段PN的最大值和最小值．

36．如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B固定且坐标为（，

0），顶点A在⊙O上运动，始终保持CAB=90°，AC=AB （1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；

（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；

（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；

（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

37．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD

和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN

（1）线段MN和GD的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；

（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．

238．已知抛物线y??x?bx?c的图象经过点A??1,0?、B?3,0?，顶点为E，与y轴

交于点C．

?1?求抛物线的解析式和顶点E的坐标；

?2?如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当VBDC的面积最大时，求点P的坐标；

?3?如图2，若点Q是直线BC上的动点，点Q、C、E所构成的三角形与VAOC相

似，请直接写出所有点Q的坐标；

?4?如图3，过E作EF?x轴于F点，M?m,0?是x轴上一动点，N是线段EF上

一点，若?MNC?90o，则m的最大值为________，最小值为________．

39．如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．

（1）观察猜想：将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE， 则线段AC与DE的数量关系是 ，直线AC与DE的位置关系是 ．（2）类比探究：将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．

（3）拓展延伸：将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．

40．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边AB、BC所在直线上的两个动点，且满足AD=BE，连接AE、CD，直线AE、CD交于点P。

（1）如图（1），当点D、E在线段AB、BC上时，求∠APC的度数；

（2）如图（2），当点D、E分别是AB、BC延长线上的两个动点，连接AE、CD，DC的延长线与AE交于点P，求∠APC的度数；

（3）若等边三角形边长为23，当D、E在运动的过程中，连接BP，直接写出线段．．．．BP的最小值和最大值.

图（1） 图（2）

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

由在x=1时取得最大值15，可设解析式为：y=a（x-1）2+15，只需求出a即可，又与x轴交点横坐标的平方和为15-a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值． 【详解】

解：解法一：∵x轴上点的纵坐标是0，

∴由题可设抛物线与x轴的交点为（ 1-t，0），（ 1+t，0），其中t＞0， ∵两个交点的横坐标的平方和等于15-a即：（1-t）2+（1+t）2=15-a， 可得t=13?a， 2由顶点为（1，15），

可设解析式为：y=a（x-1）2+15， 将（1-13?a，0）代入解析式， 2得a=-2或a=15（不合题意，舍去） ∴y=-2（x-1）2+15=-2x2+4x+13， ∴b=4；

解法二：∵对称轴是x=1，最值是15， ∴设y=ax2+bx+c=a（x-1）2+15， ∴y=ax2-2ax+15+a，

设方程ax2-2ax+15+a=0的两个根是x1，x2， 则x1+x2=??2a15?a =2，x1?x2= ， aa∵二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15-a， （x1）2+（x2）2=（x1+x2）2-2x1x2=15-a， ∴22?2?15?a?a=15-a,

a2-13a-30=0，

a1=15（不合题意，舍去），a2=-2，

∴y=-2（x-1）2+15=-2x2+4x+13； ∴b=4． 故选：C． 【点睛】

本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，灵活运用相关知识是解题关键． 2．A 【解析】

试题解析：通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，

∵∠MCB=

11MOB=×90°=45°， 22∴∠DCM=∠BCM=45°， ∵四边形BCDE是正方形，

∴C、M、E共线，∠DEM=∠BEM， 在△EMD和△EMB中，

DE＝BC{?MED＝?MEB，

ME＝ME∴△MED≌△MEB，

∴DM=BM=OM2?OB2=22?22=22， ∴OD的最大值=2+22． 故选A．

3．1+7 【解析】 【分析】

如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题. 【详解】

解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ＝QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO＝90°，

∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大， ∵∠AOC＝120°， ∴∠COH＝60°， 在Rt△OCH中， ∵OC＝2， ∴OH＝

1OC＝1，CH＝3， 2在Rt△CKH中，CK＝(3)2?22＝7， ∴CQ的最大值为1+7. 【点睛】

本题考查勾股定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形、垂径定理的推论，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．

4．（1）BE?AD，BE与AD互相垂直（2）①AP?【解析】 【分析】

84②47、72 13（1）证明VACD≌VBCE，根据全等三角形的性质进行求解即可.

（2）①求出AE，根据勾股定理求出BE，证明VAPE∽VBCE，根据相似三角形的性质即可求出.

②由?APB?90?可知点P在以AB为直径的圆的一段弧上，且当BP与以CE为半径eC相切时，点P在其运动路径所在弧的两个端点处，P到AB的距离最小，此时VPAB的面积S最小, 当点P与点C重合时，P到AB的距离最大，此时VPAB的面积S最大,求解即可. 【详解】

（1）BE?AD，BE与AD互相垂直；

证明：∵等腰VABC，等腰RtVDEC，

∴AC?BC,DC?EC，?ACB??DCE?90? ∴?ACD??BCE ∴VACD≌VBCE

∴BE?AD，?CAD??CBE ，

∵?CAD??APB??CBE??ACB??AOB ∴?APB??ACB?90?，即BE与AD互相垂直 （2）①∵AB?BC?12，DC?EC?5 ∴AE?AC?EC?12?5?7，

RtVBCE中， BE?BC2?EC2?122?52?13，

由（1）同理可知?APB??ACB?90?，?CAD??CBE ∴VAPE∽VBCE ∴

AEAP7AP84?? ，即，解得AP?BEBC131213②由?APB?90?可知点P在以AB为直径的圆的一段弧上，且当BP与以CE为半径

eC相切时，点P在其运动路径所在弧的两个端点处，P到AB的距离最小，此时

VPAB的面积S最小,如图1、2，易知四边形PDCE是边长为5的正方形.

∴BE?AD?122?52?119， BP?BE?PE?119?5，

AP?AD?PD?119?5

∴S最小值???11?AP?BP??22?119?5???119?5?47,

?当点P与点C重合时，P到AB的距离最大，此时VPAB的面积S最大，如图3

11S?最大值???AC?BC??12?12?72.

22【点睛】

考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质等，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

5．（1）y=x-4；（2）当t=2时，l有最大值2，此时N（2，2）；（3）存在，点M的坐标为（2，﹣2），（1，-3），x=4或3. 【解析】

试题分析：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，过A（4，0）、C（0，-4）两点，即可求得k、b的值，从而求得直线AC的解析式；（2）求得抛物线的顶点坐标及当x=1时点M的坐标，即可求得MN的长；（3）①设N?t,t?4?,M?t,（

?12?t?t?4?，根据MN=（t-4）-?2?12t?t?4），化简即可求得l与t之间的函数关系式，根据图象直接写出x的取值范围2即可；②存在，分DO=DM、MO=MD和MO=OD(这种情况不存在)三种情况讨论求解即可，第三种情况不存在，可以不写. 试题解析：

（1）∵抛物线的解析式为：

y?kx?b

∴A（4，0）C（0，-4） ∵y?kx?b过A，C两点 ∴b??4，k?1

（2）∵抛物线的解析式为：y?129x?x?4顶点坐标为（1，? ） 22直线AC的解析式y=x-4,当x=1时，M（1，-3） ∴MN=

3 2?12?t?t?4? ?2?（3）①∵N?t,t?4?,M?t,∴l?MN??t?4???1?12?t?t?4???t2?2t （ 4≤t≤0）

2?2?l??12?t?2??2， 2∴当t=2时，l有最大值2，此时N（2，2） （3）存在．

∵点B（-2，0），

∴点D是点B关于y轴的对称点，∴点D（2，0）） 在△ODM中，

（ⅰ）若DO=DM，

∵A（4，0），D（2，0），∴AD=OD=DM=2．

又在Rt△AOC中，OA=OC=4， ∴∠OAC=45°．∴∠DMA=∠OAC=45°．

∴∠ADM=90°．此时，点M的坐标为（2，﹣2）．

1l?MN??t2?2t

21l?MN??t2?2t

2

（ⅱ）若MO=MD，过点M作MH⊥x轴于点H． 由等腰三角形的性质得：OH=OD=1，∴AH=3， ∴在等腰直角△AHM中，HM=AH=3， ∴M（1，-3） l?MN??SVACN12t?2t 2131?OA?l?4???3. 222综上所述，使得△ODM是等腰三角形，所求点M的坐标为：（2，﹣2），（1，-3）, △CAN的面积为4或3.

点睛：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰三角形的性质，难点在于最后一问要分情况讨论． 6．（1）最小值-19；（2）最大值3. 【解析】 【分析】

2（1）根据题意将a2?8a?3转化为(a?4)?19，可判断其由最小值，即可求解.

2（2）根据题意将?y?2y?2转化为?(y?1)2?3，可判断其由最大值，即可求解.

【详解】

（1）根据题意将a2?8a?3转化为(a?4)2?19，因为?a?4?≥0，所以当a=-4时，该代数式有最小值，最小值为-19.

2（2）根据题意将?y?2y?2转化为?(y?1)2?3，因为-?y?1??0，所以当y=1时，该

22代数式有最大值，最大值为3. 【点睛】

此题考查代数式的最值，解题关键在于结合题意将代数式化为完全平方的形式. 7．当x?3时,函数y有最大值为y最大值?【解析】 【分析】

利用配方法把二次函数从一般式转化为顶点式，直接利用顶点式的特点可得出结果. 【详解】 ∵y??又∵?5y,无最小值. 212115x?3x?2??(x2?6x)?2??(x?3)2? 22221?0 25y,无最小值. 2∴抛物线开口向下

当x?3时,函数y有最大值为y最大值?【点睛】

本题考查二次函数最值问题，熟练使用配方法将二次函数变形为顶点式是解题关键. 8．当x=0时，y有最大值是3 【解析】 【分析】

利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】

解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）， ∴??16?4b?c?3，

?9?3b?c?0

?b??4解得，?，

c?3?∴函数解析式为：y=x2-4x+3， y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴当x=0时，y有最大值是3． 【点睛】

本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的最值，掌握待定系数法求解析式的一般步骤是解题的关键． 9．（1）x=-【解析】

试题分析：本题考查二次函数的有关知识、一次函数的有关知识，掌握函数的性质是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．

（1）把k=-2代入抛物线解析式得到y=-2x2-5x-3，根据顶点坐标公式即可解决．

（2）分两种情形讨论当k=0时，y=-3x-3为一次函数，k=-3＜0，则当x＞0时，y随x的增

35313时，y最大=；（2）k≤0；（3）k=3,k=，k=,k=-. 44810?110?1??k＜0?31大而减小；当k≠0时，y=（kx-3）（x+1）=kx+（k-3）x-3为二次函数，由不等式组-?0??2k22

解决．

（3）分三种情形讨论：当k＞0时①AC=BC，②AC=AB，③AB=BC分别列出方程解决；当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB列出方程解决，当k=0时，不合题意． 试题解析：（1）当k=-2时，函数y=（-2x-3）（x+1）=-（2x+3）（x+1）， 函数为二次函数，且二次项系数小于0，故函数存在最大值， 当x=-

51时，y最大=； 48（2）当k=0时，y=-3x-3为一次函数，-3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；

3-131当k≠0时，y=（kx-3）（x+1）为二次函数，其对称轴为直线x=k=-，要使当x＞0

2k22时，y随x的增大而减小，则抛物线的开口必定朝下，且对称轴不在y轴的右边.

??k＜0?31，

故得，

??2k-2?0解得k＜0,

综上所述，k应满足的条件是：k≤0. （3）由题意得，k≠0，函数为二次函数.

由所给的抛物线解析式可得A，C为定值A（-1,0），C（0，-3）则AC=10，而B（（1）k＞0，则可得,

①AC=BC，则有()?3=10，可得k=3,

3，0）, k3k22②AC=AB，则有

33+1=10，可得k=， k10?1③AB=BC，则有

3233+1=9?()，可得k=,

kk4④k＜0，B只能在A的左侧, 只有AC=AB，则有-

33-1=10，可得k=-.

k10?1考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数的性质；3.二次函数的最值． 10．(1) y=-【解析】 分析：

（1）由已知条件易得点B的坐标为（3，0），这样结合点A、C的坐标即可求得抛物线的解析式；

（2）由题意可知，AC长度是固定值，点A和点B关于直线x=1对称，由此可得连接BC交直线x=1于点P，此时△PAC的周长最小，求得直线BC的解析式，即可求得此时点P的坐标；

（3）如图2，画出符合题意的图形，过点D作DF⊥y轴于点F，交对称轴x=1于点N，在Rt△OCH中易得CH=5，由Rt△CDF∽Rt△CHO，可将CF、OF和FD用含m的代数式

2244x+x+2;(2) P（1,）;(3)见解析.

333

表达出来，从而可表达出点D和点N的坐标，再用待定系数法求得用含m的代数式表达的DE的解析式，即可表达出点E的坐标和点Q的坐标，然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S与m间的函数关系式，将所得解析式化简、配方即可得到所求答案. 详解：

（1）∵抛物线y=ax2?bx?c（a≠0）与x轴交于A?B两点,其对称轴为x=1,且A（-1,0），∴点B的坐标为（3，0），

∴可设抛物线解析式为：y?a(x?1)(x?3)， ∵抛物线和y轴交于点C（0，2）， ∴2?a(0?1)(0?3)，解得：a??∴y??2， 3224(x?1)(x?3)，即y??x2?x?2； 333（2）△PAC的周长有最小值，连结AC?BC， ∵AC的长度一定,

∴要使△PAC的周长最小,就是使PA+PC最小. ∵点A关于对称轴x=1的对称点是B点, ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P（如图2）, 设直线BC的表达为lBC:y=kx?b,则有

2?k???3k?b?02?,解得?3,∴lBC:y=-x+2, ?3?b?2?b?2?把x=1代入,得y=

4, 34）, 34）； 3即点P的坐标为P（1,

∴△PAC的周长取得最小值,取得最小值时点P的坐标为P（1,

（3）如图2，设DE对称轴x=1于点Q,

在Rt△COH中，由勾股定理得CH=CO2?OH2=22?12=5. 过点D作DF⊥y轴于点F，交对称轴x=1于点N， ∵Rt△CDF∽Rt△CHO， ∴

CFCD?， COCHCO?CD2m25m25m==，OF=CO-CF=2-；

5CH55FDCDOH?CDm5m==?，FD=，

5OHCHCH55m25m,2-），

55∴CF=

同样：

∴点D的坐标为D（

∴N（1，2-25m）. 5∵DE∥BC，

∴可设lDE（过点D?E的直线）:y=-把D点坐标代入其中，得-

2x+b1， 32? 35mb25m+1=2-，

55解得b1=2-45m， 15∴lDE ：y=-

245mx+2-，

31525m， 5点E的纵坐标为0，代入其中，解得x=3-

∴E（3-

25m，0）. 5∵点Q在对称轴x=1上，把x=1代入lDE中，解得y=

445m-，

315∴Q（1,

445m-）.

315

PQ=

4445m45m5m-（-,DN=1-）=，

331515525m25m-1=2-.

55EH=3-

S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=

11PQ·DN+PQ·EH 22=

1145m5m25mPQ（DN+EH）=·+2-（1-）, 2215552225m, m+

55化简得S=-

可知S是关于m的二次函数. S存在最大值.

12?5?1+,,S, 配方可得:S=-?m?由此可得取得最大值为???25?2?2取得最大值时m的值为:m=25. 2

点睛：本题是一道二次函数与几何图形的综合题，第1和第2小题比较简单；第3小题难点较大，画出符合题意的图形，作出如图所示的辅助线，借助于△CDF∽△CHO，利用相似三角形的性结合题中的已知条件，把点D、E、Q的坐标用含m的代数式表达出来是解决第3小题的关键.

11．（1）见解析;（2）PQmin=7，PQmax=13;（3） Smin=【解析】 【分析】

（1）根据全等三角形判定定理求解即可.

354，Smax=18. 25

（2）以E为圆心，以5为半径画圆，①当E、P、Q三点共线时最PQ最小，②当P点在P2位置时PQ最大，分类讨论即可求解.

（3）以E为圆心，以2为半径画圆，分类讨论出P点在P1，P2位置时，四边形PADC面积的最值即可. 【详解】

（1）当P为AD中点时，

???DPQ?APAB?CD， ???A??D??ABP??DCP（SAS)

?BE?CE

?△BCP为等腰三角形.

（2）以E为圆心，以5为半径画圆

① 当E、P、Q三点共线时最PQ最小，PQ的最小值是12-5=7. ② 当P点在P2位置时PQ最大，PQ的最大值是52+122=13

（3）以E为圆心，以2为半径画圆.

当点p为P1位置时，四边形PADC面积最大=?3+6??4=18.

224144354. ??52525当点p为P1位置时，四边形PADC最小=四边形P2ADF+三角形P2CF=【点睛】

本题主要考查了等腰三角形性质，直线，面积最值问题，数形结合思想是解题关键. 12．（1）36．（2）Cmin?413?12．3．（3）【解析】

试题分析：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四边形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根据勾股定理得到

45． 13AE?AB2?BE2?52?32?4，于是得到结论；

（2）如图2，作点B关于直线AD的对称点G，连接CG交AD于P，则BC+PB+PC=BC+PG+PC即为△BCP周长的最小值，根据勾股定理得到CG?BC2?BG2?122?82?413，

1BC=6，2于是得到△BCP周长的最小值为：413+12；根据三角形中位线的性质得到PH=

由勾股定理得到AH?AB2?BH2?3，于是得到结论．

（3）过E点作BC的垂线分别交AD、BC于G、H点，过F点作BC的垂线分别交AD、

BC于I、J点，过G点作BC的垂线分别交AD、BC于K、L点，如图所示，设AP?x，

则PD?6?x．因为ADPDC，所以△AGD∽△NGM，得GL?1；同理可得

△AEP∽VNEB，VDFP∽VMFC，得：EH?2828，FJ?，所以7?x13?xS?SVPBC?SVEBN?SVFMC?SVMGN，进而求得答案.

试题解析：（1）如图1，过A作AE?BC于E，DF?BC于D．

则四边形AEFD是矩形．

∴EF?AD?6，BE?CF?3． ∴AE?AB2?BE2?52?32?4．

11(AD?BC)?AE??(6?12)?4?36． 22∴S四ABCD?（2）如图2，作点B关于直线AD的对称点G，

连接CG交AD于P，则BC?PB?PC?BC?PG?PC． 即为VBCP的最小周长． 由（1）知BG?8(?2AE)． 在RtVGBC中，CG?BC2?BG2?122?82?413．

∴VBCP的Cmin?413?12． ∵AD∥BC，BH?HG， ∴PH?∵AH?1BC?6． 2AB2?BH2?3，

∴AP?PH?AH?3．

（3）过E点作BC的垂线分别交AD、BC于G、H点，过F点作BC的垂线分别交AD、过G点作BC的垂线分别交AD、BC于K、L点，如图3所示，设AP?x，BC于I、J点，

则PD?6?x．

因为ADPDC，所以△AGD∽△NGM， 所以

GKAD6??，又KL?4，所以GL?1； GLMN2同理可得△AEP∽VNEB，VDFP∽VMFC，

GEAPxIFPD6?x??，??， HEBN7JFMC72828求得：EH?，FJ?，其中0?x?6，

7?x13?x所以

所以S?SVPBC?SVEBN?SVFMC?SVMGN， 即S?11281281?12?4??7???7???2?1 227?x213?x2?25?196．

?(x?3)2?10045． 13因此当x?3时，S有最大值6.4；当x?0或x?6时，S有最小值了

?a?113．（1）?；（2）当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．

b??4?【解析】 【分析】

(1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由二次函数的对称性可得出抛物线的对称轴为直线x＝2，利于一次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线的顶点Q的坐标，由点A，P的坐标，利用待定系数法即可求出a，b的值；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可找出s1，s2，进而可得出s关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】

解：（1）∵直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B， ∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣8）．

∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，点O， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2． 当x＝2时，y＝2x﹣8＝﹣4， ∴抛物线顶点Q的坐标为（2，﹣4）．

将A（4，0），Q（2，﹣4）代入y＝ax2+bx，得：

?16a?4b?0?a?1，解得：?． ??4a?2b??4?b??4（2）由（1）得：抛物线解析式为y＝x2﹣4x， ∵点P的横坐标为t， ∴点P的坐标为（t，t2﹣4t）， ∴s1＝

11×4×8×t＝4t， （4t﹣t2）＝8t﹣2t2，s2＝×22∴s＝s1+s2＝﹣2t2+12t＝﹣2（t﹣3）2+18． ∵﹣2＜0，且0＜t＜4，

∴当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．

【点睛】

本題考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、一次的数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是:(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次数解析式;(2)利用三角形的面积公式，找出s关于t的数关系式.

14．（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）△BDM的周长最小值为）；（4）点P的坐标为（【解析】

，

）．

，M（

，

试题分析：（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程组，求得a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）依据同角的余角相等证明∠BDC=∠DE0，然后再依据AAS证明△BDC≌△DEO，从而得到OD=AO=1，于是可求得点D的坐标；（3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．先求得抛物线的对称轴方程，从而得到点B′的坐标，由轴对称的性质可知当点D、M、B′在一条直线上时，△BMD的周长有最小值，依据两点间的距离公式求得BD和B′D的长度，从而得到三角形的周长最小值，然后依据待定系数法求得D、B′的解析式，然后将点M的横坐标代入可求得点M的纵坐标；（4）过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．然后依据S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可．

试题解析：（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：解得：a=-2，b=6，

抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x． （2）如图1所示； ∵BD⊥DE， ∴∠BDE=90°． ∴∠BDC+∠EDO=90°． 又∵∠ODE+∠DEO=90°， ∴∠BDC=∠DE0．

，

在△BDC和△DOE中，，

∴△BDC≌△DEO． ∴OD=AO=1． ∴D（0，1）．

（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M． ∵x=﹣

=

，

∴点B′的坐标为（2，4）．

∵点B与点B′关于x=∴MB=B′M．

∴DM+MB=DM+MB′．

对称，

∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）． ∵由两点间的距离公式可知：BD=∴△BDM的最小值=

．

，DB′=

，

设直线B′D的解析式为y=kx+b． 将点D、B′的坐标代入得：

，

解得：k=，b=1．

x+1．

∴直线DB′的解析式为y=将x=∴M（

代入得：y=，

）．

．

（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G． 设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a． ∵S梯形DOGF=S△ODA=

（OD+FG）?OG=

×1×1=

a=﹣a3+3a2+（﹣2a2+6a+1）×

AG?FG=﹣a3+4a2﹣3a， a﹣

．

a，

OD?OA=，S△AGF=

∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+∴当a=

时，S△FDA的最大值为

，

）．

．

∴点P的坐标为（

考点：二次函数综合题.

15．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）S有最大值，理由见解析；（3）存在，P点坐标为（，3）或（﹣3+3【解析】

试题分析：（1）把B点和C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；

（2）把（1）中的一般式配成顶点式可得到M（1，4），设直线BM的解析式为y=kx+n，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，则P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），于是根据三角形面积公式得到S=﹣m2+3m，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）讨论：∠PDC不可能为90°；当∠DPC=90°时，易得﹣2m+6=3，解方程求出m即可得到此时P点坐标；当∠PCD=90°时，利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2，

然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标． 0）试题解析：（1）把B（3，，C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）S有最大值．理由如下： ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴M（1，4），

设直线BM的解析式为y=kx+n， 把B（3，0），M（1，4）代入得∴直线BM的解析式为y=﹣2x+6，

，12﹣6）．

，解得 ，

，解得，

∵OD=m，

∴P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3）， ∴S=

?m?（﹣2m+6）=﹣m2+3m=﹣（m﹣

）2+

，

∵1≤m＜3， ∴当m=

时，S有最大值，最大值为

；

（3）存在．

∠PDC不可能为90°；

当∠DPC=90°时，则PD=OC=3，即﹣2m+6=3，解得m=

，此时P点坐标为（

，3），

当∠PCD=90°时，则PC2+CD2=PD2，即m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2， 整理得m2+6m﹣9=0，解得m1=﹣3﹣3当m=﹣3+3﹣6

），

，3）或（﹣3+3

，12﹣6

）时，△PCD为直角三角形．

时，y=﹣2m+6=6﹣6

（舍去），m2=﹣3+3+6=12﹣6

，

，12

，此时P点坐标为（﹣3+3

综上所述，当P点坐标为（考点：二次函数综合题．

16．（1）5；（2）18；（3）（321－9）km． 【解析】

【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据已知条件可得△AOB是等边三角形，由此即可得半径；

（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MN即为MP的最大值，根据垂径定理求得OM的长即可求得MN的最大值；

（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称E，PE，P＂F，PF，PP＂，则P′P＂即为最短距离，其长点P′、P＂连接PP′、P′度取决于PA的长度， 根据题意正确画出图形，得到点P的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值.

【详解】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，

∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，

∴∠BAO=∠OAC=∵OA=OB，

11∠BAC=?120?=60°，

22∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=5， 故答案为：5；

（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，

MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132?122＝5，MN＝18， 显然，

∴PM的最大值为18；

（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称E，PE，P＂F，PF，PP＂ 点P′、P＂连接PP′、P′

E＋EF＋FP＂＝P′P＂，且P′由对称性可知PE＋EF＋FP＝P′、E、F、P＂在一条直P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度， 线上，所以P′

如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°， ∴?ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，

BC所对的圆心角为60° ，∴?OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33，∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33， ∠P′AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂， ∴∠P′AP＂＝2∠ABC＝120°A＝AP＂， ，P′∴∠AP′E＝∠AP＂F＝30°，

∵P′P＂＝2P′Acos∠AP′E＝3P′A＝321－9， 所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km．

【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.

17．（1）抛物线解析式为y＝?123x+x+2，B（0，2）；（2）S△ABM的最大值＝4，（2，3）；

22?20?6585??24??,?,（3）???或(4?25,0)或???． 55?55???【解析】 【分析】

(1)将A(4，0)代入y＝ax2+(a+2)x+2，可求出a的值，将a的值代入即得到抛物线解析式，令x＝0，求y，得点B坐标；

(2)待定系数法求直线AB的解析式，设点P(m，0)，将S△ABM表示成m的二次函数，配

方成顶点式即可求得△ABM面积的最大值及此时M点的坐标；

(3)①求PQ+BP的最小值利用对称进行转化，应用“两点之间线段最短”及“垂线段最短”可以得到“PQ+BP的最小值”即为点D到直线AB的距离；.

②题在△ABC绕A逆时针旋转过程中，按照依次落在直线BD、AD、AB上分类讨论． 【详解】

(1)将A(4，0)代入y＝ax2+(a+2)x+2， 得16a+4(a+2)+2＝0，解得a＝?∴抛物线解析式为y＝?令x＝0，得y＝2， ∴B(0，2)；

(2)如图1，过点M作ME⊥AB于E，设P(m，0)，M(m，?1， 2123x+x+2，

22123m+m+2)，

22设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A(4，0)，B(0，2)分别代入，

1??4k?b?0?k??得?，解得?2，

b?2???b?2∴直线AB的解析式为y=?∴N(m，?1x+2， 21m+2)， 21113∴MN=?m2+m+2-(?m+2)= ?m2+2m，

2222∵MN⊥x轴， ∴MN∥y轴，

∴∠MNE＝∠ABO，又∵∠MEN＝∠AOB＝90°， ∴△MEN∽△AOB， ∴

MEAO?， MNAB∴ME×AB＝AO×MN， ∴SVABM?111?1?MEgAB?AOgMN??4??m2?2m?＝﹣(m﹣2)2+4， 222?2?∵﹣1＜0，0＜m＜4，

∴当m＝2时，S△ABM的最大值＝4，

此时，点M的坐标为(2，3)；

(3)①如图2，连接BP、DP、PQ，则PQ+BP＝PQ+DP，只有当D、P、Q三点在同一直线上，且DP⊥AB时，PQ+BP的值最小．

过点D作DQ⊥AB于Q，交x轴于P，OA＝4，OB＝2，AB＝OA2?OB2＝25， ∵B、D关于x轴对称， ∴D(0，﹣2)，BD＝4， ∵BD×AO＝DQ×AB， ∴DQ＝

BDgAO4?48585，即PQ+BP的最小值＝， ??AB552585； 5故答案为②如图3，点C′落在直线BD上， 在抛物线解析式y＝?123x+x+2中，令y＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，

22∴C(﹣1，0)，AC＝5，BC＝5， ∵AB2+BC2=(25)2+(5)2=25=AC2， ∴∠ABC＝90°，

由旋转知，AC′＝AC＝5，B′C′＝BC＝5，AB′＝AB＝25，∠AB′C′＝∠ABC＝90°， OC′=AC?2?OA2?52?42＝3，∴C′(0，﹣3)，

设AB′交y轴于F，过B′作B′G⊥y轴于G， ∵∠AOF＝∠C′B′F＝90°，∠AFO＝∠C′FB′ ∴△AFO∽△C′FB′， ∴∠FAO＝∠FC′B′，

5B?FB?C?5，即B?F?OF， ??4OFAO45OF， 4∴AF=AB??B?F?25?∵AO2+OF2＝AF2，

??8522∴4?OF??25?OF，解得OF=， ???114??∴AF=25?258205， ??41111∵∠C′GB′＝∠AOF＝90°， ∴△C′GB′∽△AOF， ∴

B?GOF?，即B′G×AF＝OF×B′C′， B?C?AF22058??5，∴B?G?，

51111∴B?G?∴

C?GOA?，即C′G×AF＝OA×B′C′， B?C?AF11205?∴CG?，， ?4?55114??； 5?∴C?G?∴B???,??2?5如图4，点C′落在直线AD上，∵∠BAC＝∠OAD，

∴点B的对应点B′落在x轴上，由旋转知：△AB′C′≌△ABC， ∴AB′＝AB＝25，OB′＝25-4， ∴B′(4-25，0)；

如图5，点C′落在直线AB上，过C′作C′B″⊥x轴于B″，作B′M⊥x轴于M，作DQ⊥AB于Q，

∵∠B″AC′＝∠BAC＝∠B′AC′，∠AB″C′＝∠AB′C′＝∠ABC＝∠AQD＝∠AM′＝90°，AC′＝AC＝5，

∴∠BAD＝∠B′AB″，AB＝AD＝AB′＝AB″， ∴△ADQ≌△AB′M， ∴B′M＝DQ＝

85， 5∴AM?AB?2?B?M2??25?2?85?65， ????5??5??

2

OM=OA+AM=4+6520?65=， 55∴B′(

20?6585)， ，-55?20?6585??24??,?,故答案为???或(4?25,0)或???． 55?55???

【点睛】

本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，利用三角形面积求高，点到直线距离垂线段最短及两点之间线段最短，相似三角形性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 18．（1）y?3223x?x?3（2）△ACB为直角三角形，S?ACB?23（3）S的最33?23?2731,?大值为（4）t的最小值为3，此时点P的坐标为???? 3128??【解析】 【分析】

（1）直接把C点坐标代入y＝

a(x+1)(x?3)可求出a的值即可； 3（2）利用抛物线与x轴的交点问题得到A（-1，0），B（3，0），则根据正切的定义和特殊角的三角函数值可求出∠ACO=30°，∠BCO=60°，则∠ACB=90°，于是可判断△ACB为直

角三角形，然后根据三角形面积公式计算S△ACB；

（3）如图1，先利用PD∥OC得到∠EPD=∠OCB=60°，根据特殊角的三角函数值得到

PE?133PD,DE?3PE?PD则S?PD2再利用二次函数的性质得到PD的最228大值为

33于是可得到S的最大值； 4（4）过P点作过C且平行于x轴的直线于点H，如图2，作FH′⊥CH于H′，交BC于P′，利用∠PCH=30°得到PH=

1PFPCPC，根据速度公式得到 t??，则t=PF+PH，利用两212点之间线段最短可判断当F、P、H共线时，PF+PH最小，此时t=PH′=3，然后求出F（1，0）后确定P′点的坐标即可． 【详解】

解：（1）把C(0,?3)代入 y?a(x?1)(x?3)得： 3a?1?(?3)??3，解得a?3 3∴抛物线解析式为：y?3(x?1)(x?3),3即y?3223x?x?3 33（2）当y=0时，

3，B（3，0），在(x?1)(x?3)?0解得x1=-1，x2=3，则A（-1，0）

3Rt△AOC中，Qtan?AOC?OA13 ，??ACO?30? ??OC33OB3??3，∴∠BCO=60°， OC3在Rt△OBC中，Qtan?BCO?∴∠ACB=30°+60°=90°， ∴△ACB为直角三角形， ∴S?ACB?1?(3?1)?3?23 2（3）如图1，∵PD∥OC，

∴∠EPD=∠OCB=60°， ∴∠PDE=30°，

?PE?13PD,DE?3PE?PD 22?S?13PE?DE?PD2 28设BC的解析式为y=kx+b，

?33k?b?0?k???把B（3，0），C（0，-3）代入得：?解得?3

??c??3?b??3?∴直线BC的解析式为y?3x?3 3设点P的坐标为??m,???3m?3?则D ?3???3223m,m?m?3 ????33???3223?332?PD?m?3??m?m?3??m?3m ??3?333??323?3?33 ?PD??m?3m??m????33?2?4∴PD的最大值为233 423?33?273∴S的最大值为 ?????8?4128?? （4）过P点作过C且平行于x轴的直线于点H，如图2，作FH′⊥CH于H′，交BC于P′，

∵∠OCB=60°， ∴∠PCH=30°，

1PC2

PFPCQt??12?PH?∴t=PF+PH，

∴当F、P、H共线时，PF+PH最小，此时t=FH′=3， ∵F为AB中点， ∴F（1，0）， 当x=1时，y?323 x?3??33∴t的最小值为3，此时点P的坐标为??1,???23? ??3?【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数求函数解析式；解直角三角形，记住特殊角的三角函数值；理解坐标与图形性质是解题的关键．

19．（1）C；（2）证明见解析；（3）2，4?23． 【解析】 【分析】

（1）由概念即可得；

（2）由等弧所对的圆周角相等和角平分线定理即可证得；

（3） 【详解】

（1）由概念即可得答案为：C; （2）∵DE=DB，∠B=60° ∴∠DEB=∠B=60° ∴∠DMN=∠DEB=60° ∴∠DEC=180°-∠DEB=120° ∵EM平分∠DEC ∴∠DEM=

1∠DEC=60° 2 ∴∠DNM=∠DEM==60°

∴∠NDM=180°-∠DMN-∠DNM=60° ∴∠NDM=∠DMN=∠DNM=60° ∴△DMN是正三角形

∵由概念得△DMN是△ABC的内接三角形 ∴△DMN是△ABC的内接正三角形. （3）2 ； 4?23

思路：①最大值

如图，当 K 与C 重合时， DK 最大，而△ BDK 是等边三角 形，所以 DK BK BC 2

②最小值

如右图，设 DK=BD=BK=x ，则CK=2- x .

由手拉手模型：△ BDK 和△ DEF 都是等边三角形，且共点 D.易证△ BDE ∴ BE= KF

∵∠DKF=∠BDK= 60°，

∴ KF / / AB

∴

CKKFCB?AB 即

2?xBE2?AB 下面在图中求AB，

AB=3?1,

∵BE≤BC=2，

△ KDF .

【点睛】

本题考查的知识点是圆的综合题，解题关键是利用等弧所对的圆周角相等.

20．（1）发现：①DE=BG；②DE⊥BG；（2）探究：（1）中的结论仍然成立，理由详见解析；（3）应用：点P到CD所在直线距离的最大值是2+22，最小值是3﹣3 ． 【解析】 【分析】

（1）证明△AED≌△AGB可得出两个结论；

①根据正方形的性质得出AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°（2），求出∠EAD=∠GAB，根据SAS推出△EAD≌△GAB即可；

②根据全等三角形的性质得出∠GBA=∠EDA，求出∠DHB=90°即可；

（3）先确定点P到CD所在直线距离的最大值和最小值的位置，再根据图形求解． 【详解】

解：（1）①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG，

理由是：如图1，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BDA=90°， ∴∠BAG=∠BAD=90°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AE=AG，

∴△AED≌△AGB（SAS）， ∴DE=BG；

②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，

理由是：如图2，延长DE交BG于Q，

由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE， ∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ， ∴∠BEQ+∠ABG=90°， ∴∠BQE=90°， ∴DE⊥BG；

故答案为①DE=BG；②DE⊥BG； （2）（1）中的结论仍然成立，理由是：

①如图3，

∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形， ∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°， ∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB， 在△EAD和△GAB中，

?AE?AG???EAD??GAB， ?AD?AB?∴△EAD≌△GAB（SAS）， ∴ED=GB； ②ED⊥GB，

理由是：∵△EAD≌△GAB， ∴∠GBA=∠EDA，

∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD， ∴∠BMH+∠GBA=90°，

∴∠DHB=180°=90°﹣90°， ∴ED⊥GB；

（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，过P作PH⊥CD于H，

①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，

在Rt△AED中，AD=4，AE=2， ∴∠ADE=30°，DE=42?22=23， ∴DF=DE﹣EF=23﹣2， ∵AD⊥CD，PH⊥CD， ∴AD∥PH，

∴∠DPH=∠ADE=30°， ∵cos30°=

PH3=， DF2∴PH=3（23﹣2）=3﹣3； 2②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，

∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上， 当P在?AB的中点时，如图5，此时PH的值最大，

∵AB=AD=4，

由勾股定理得：BD=42， 则半径OB=OP=22， ∴PH=2+22．

综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+22，最小值是3﹣3． 【点睛】

本题主要考查了正方形与旋转问题，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数和圆等，综合性强，难度较大，解此题的关键在于利用数形结合的方法解答此题. 21．(1) 【解析】

试题分析：(1)○1连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出＜60°），其他条件不变，即可.

（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为3；（2）没有，证明见解析. 3FM的值；2若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转a角（0°＜a○EMFM的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由○1的思路证明∠EMF=30°EM33，2当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为：OP-ON=

33-2；当P点在点B处时，且当2旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=33?2.

试题解析：（1）①

3． 3

② 不变．

证明：如图，连结AD和BC．

AOEMFDBC

在Rt△AOB和Rt△COD中，

∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°． ∴∠AOD=∠COB，

AODO3??tan30??． BOCO3∴?AOD∽?BOC． ∴

ADAO3??． BCBO3又∵E、F、M分别为AC、CD、BD中点， ∴FM?11BC，EF?AD． 22∴

EFAD3??． FMBC333-2，最大值为33?2． 2（2）线段PN长度的最小值为考点: 相似形综合题. 22．y=﹣（1）

17+432+33223x﹣x+3；①S=﹣t2﹣t﹣3＜t＜0）,S最大值=（2）（；28323②EF=6+32，点Q的坐标为（3﹣3，4﹣3）． 4【解析】

试题分析：（1）根据直线的解析式得到点C(0,3)，把点B(1,0)与点C(0,3)代入

y??32x?bx?c,于是得到结论； 3（2）①连接OQ,在直线y?x?3中,令y=0,则x??3，得到点A(?3,0)，根据三角形的面积公式即可得到结论；

②解直角三角形得到?CBO?60o， 作直径ET交⊙I于点T,连接FT,则?EFT?90o，得到EF?ET?sin60o?3当BD⊥AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EFET，2的值最小，推出?CAO?45o，在Rt△ADB中，根据三角函数的定义即可得到结论． 试题解析：(1)在直线y?x?3中,令x=0,则y?∴点C(0,3)，

3，?c?3?32 把点B(1,0)与点C(0,3)代入y??x?bx?c,得：?33?b?c?0，???3?23?b??解得：?3

?c?3，?∴抛物线的解析式为：y??3223 x?x?3；33(2)①连接OQ,在直线y?x?3中,令y=0,则x??3， ∴点A(?3,0)，

QSVAQC?SVAOQ?SVOCQ?SVAOC，

?S?132311 ?3(?t?2t?3)??3?(?t)??3?3，2332212?327?4312?3)?,(?3?t?0). ?S??t2?t,即S?(t?22822∴当t??2?37?43时,S最大值. 28

②∵点B(1,0), C(0,3),?OB?1,OC?3， 在Rt△BOC中, tan?CBO? ??CBO?60o， 作直径ET交⊙I于点T,连接FT,则?EFT?90o，又?FTE??CBO?60o,sin?FTE?OC ?3，OBEF3 ,EF?ET?sin60o?ET，ET2当BD⊥AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小， 在Rt△AOC中, OA?OC?3， ??CAO?45o，在Rt△ADB中，BD?AB?sin?CAO?ABsin45o?1?(?3)sin45o?2?6. 2?EF?3332?66?32 ET?BD???，22224此时点Q的坐标为(3?3,4?3).

23．（1）y??322312?3t，x?x?3（2）①S??t2?22333，②EF???3?t?0?S最大值?7?48【解析】

6?32，点Q的坐标为4?3?3,4?3.

?

试题分析：（1）令x?0，求出直线y?x?3与y轴的交点即C点坐标，再用待定系数法①在直线y?x?3中，求二次函数解析式即可；（2）令y?0，得到点A的坐标，连接OQ，由SΔAQC?SΔAOQ?SΔOCQ?SΔAOC即可得到S与t的函数关系；②由点B?1,0?，C0,3，得?CBO?60?. 作直径ET交⊙I于点T，连接FT，当BD?AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小. 在RtΔAOC中，?CAO?45?，

??在RtΔADB中，BD=

求出点Q的坐标.

2?636?32， ，EF?ET=

224试题解析：(1)在直线y?x?3中，令x?0，则y?3，∴点C0,3

??把点B?1,0?与点C0,3代入y????32，解得：x?bx?c，得：{33??b?c?03c?3,23b??{3， c?3,∴抛物线的解析式为：y??3223x?x?3. 33(2) ①连接OQ，在直线y?x?3中，令y?0，则x??3，

∴点A?3,0.

∵SΔAQC?SΔAOQ?SΔOCQ?SΔAOC，

????1132231S??3?t?t?3??3??t?∴???3?3， ????232?3?2

∴S??122?3t?t， 2221?2?3?7?43S???t??，(?3?t?0). ???2?2?8

∴当t??7?432?3. 时，S最大值?82②∵点B?1,0?，C0,3，∴OB?1，OC?在RtΔBOC中，tan?CBO?∴?CBO?60?.

??3.

OC ?3，OB作直径ET交⊙I于点T，连接FT，则?EFT?90?， 又?FTE??CBO?60?，sin?FTE?EF， ETEF?ET?sin60??3ET， 2当BD?AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小.

在RtΔAOC中，OA?OC?3，

∴?CAO?45?，

在RtΔADB中，BD?AB?sin?CAO?ABsin45??1??3sin45??3332?66?32， ET?BD???22224??2?6 ，2∴EF?此时点Q的坐标为

?3?3,4?3.

?点睛：本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、直线与坐标轴的交点、割补法求三角形的面积、解直角三角形的应用，注意用数形结合的思想把代数和几

何结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度.

24．（1）购买白菜苗700株，最少可以购买白菜苗600株;（2）50． 【解析】 【分析】

（1）设该农户购买白菜苗x株，则购买西红柿苗（1000-x）株，根据总价=单价×数量结合总价不少于3600元但不多于3800元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；

（2）根据利润=直接销售收入+生态采摘销售收入-购买菜苗费用，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】

（1）设该农户购买白菜苗x株，则购买西红柿苗(100-x)株，

??3x?5?1000?x??3600根据题意得：???3x?5?1000?x??3800 ，

x700． 解得：600剟答：该农户最多可以购买白菜苗700株，最少可以购买白菜苗600株． （2）根据题意得：

11600??2?4??1000?600???3?5?

2211600??2?4??1?a%???1?10%???1000?600???3?4??1?a%???1?10%??3800?808022，

整理得：43.2a-2160=0， 解得：a=50． 答：a的值为50． 【点睛】

考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据购买菜苗费用的范围，找出关于x的一元一次不等式组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．

25．（1）直线x=

515；（2）抛物线解析式为y=x2﹣x﹣4；（3）当x=4时，S△APF

662

的最大值为

【解析】

49，此时4P点坐标为（4，﹣

14165. ）；（4）35(1)直接利用抛物线的对称轴方程求解;(2)先确定C(0,4)再利用对称性得到D(5,-4),从而分析：

-5ax-4中求出a即可;(3)作得到CD=AC=5,然后求出A点的坐标，再把A点坐标代入y=ax2

PQ∥y轴交AF于Q，如图1,先利用待定系数法确定直线AD的解析式为y=﹣

13x﹣得到

2233)，再根据等腰三角形的三线合一确定F（0,），则易得直线AF的解析式为221312513y=?x?，设P（x，x?x-4）（0＜x＜8＝，则Q（x，x?） ，所以PQ=

22662213151411x??(x2?x?4)??x2?x?，然后利用三角形面积公式，根据2266632133SVAPF?SVPAQ?SVPFQ可表示出SVAPF??x2?2x?，最后利用二次函数的性质解决问

44E(0,-题；

（4）作DQ⊥AF于Q，交x轴于M，作MN⊥AD于N，EH⊥AF于H，如图2，利用两点之间线段最短和垂线段最短判断此时MN+MD的值最小，再利用面积法求出EH，然后利用平行线分线段成比例定理计算DQ即可． 详解：（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣

=；

（2）当x=0时，y=ax2﹣5ax﹣4=﹣4，则C（0，﹣4）； ∵CD∥x轴，

∴点C与点D关于直线x=对称， ∴D（5，﹣4），CD=5， ∵AC=CD， ∴AC=5，

在Rt△AOC中，OA=∴A（﹣3，0），

把A（﹣3，0）代入y=ax2﹣5ax﹣4得9a+15a﹣4=0，解得a=， ∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣4； （3）作PQ∥y轴交AF于Q，如图1，

=3，

当y=0时， x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=8，则P（8，0）， 设直线AD的解析式为y=kx+b，

把A（﹣3，0），D（5，﹣4）代入得，解得，

∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣，

当x=0时，y=﹣x﹣=﹣，则E（0，﹣）， ∵AB平分∠EAF，AO⊥EF， ∴OF=OE=， ∴F（0，），

易得直线AF的解析式为y=x+，

设P（x， x2﹣x﹣4）（0＜x＜8），则Q（x， x+）， ∴PQ=x+﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+x+∴S△APF=S△PAQ﹣S△PFQ=?3?PQ=﹣x2+2x+当x=4时，S△APF的最大值为

，

=﹣（x﹣4）2+

）；

，

，此时P点坐标为（4，﹣

（4）作DQ⊥AF于Q，交x轴于M，作MN⊥AD于N，EH⊥AF于H，如图2， ∵AB平分∠EAF， ∴MQ=MN， ∴MN+MD=DQ，

∴此时MN+MD的值最小，

∵A（﹣3，0），E（0，﹣），D（5，﹣4）， ∴AE=

=

，AD=

=4

，

∵OA?EF=?EH?AF，

∴EH==，

∵EH∥DQ，

∴=，即=，

∴DQ=，

． ．

即MN+MD的最小值是故答案为直线x=；

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短和垂线段最短解决路径最短问题． 26．(1)、40；(2)、等腰；(3)、45°(4)、最大值为1.3． 或135°【解析】

试题分析：（1）、根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；

(2)、利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN；(3)、利用当△KMN的面积最小值为

时，KN=BC=1，故KN⊥B′M，得出∠1=∠NMB=45°，同理当将纸条向下

折叠时，∠1=∠NMB=135°；(4)、分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．

试题解析：（1）、如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AM∥DN． ∴∠KNM=∠1． ∵∠1=70°， ∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°， ∴∠MKN=40°．

(2)、等腰， 理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠MND， ∵将纸片沿MN折叠， BGFYTTTQ ∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，

∴KM=KN；

(3)、如图2，当△KMN的面积最小值为∠KMB=90°，

∴∠1=∠NMB=45°，同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°， (4)、分两种情况：

MK=MB=x，情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．则AM=5﹣x．

2

=x2， 解得x=2.6． ∴MD=ND=2.6． S△MNK=S△MND=由勾股定理得12+（5﹣x）

KN=BC=1， ∵∠NMB=∠KMN，时，故KN⊥B′M，

×1×2.6=1.3．

MK=AK=CK=x，情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．则DK=5﹣x．

同理可得MK=NK=2.6． ∵MD=1， ∴S△MNK=1.3．

×1×2.6=1.3． △MNK的面积最大值为

考点：翻折变换（折叠问题）． 27．（1）6；（2）22+26. 【解析】 【分析】

C三点共线时，A′C=AA′+AC，（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、最大即可；

（2）由旋转得到结论PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可．

【详解】 （1）如图2，

∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC， ∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C ∴△A′BA是等边三角形， ∴A′A=AB=BA′=2，

在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，

则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6； 故答案是：6． （2）如图3，

∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．

以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．

∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短， ∴A'C=PA+PB+PC， ∴A'C长度即为所求． 过A'作A'D⊥CB延长线于D． ∵∠A'BA=60°（由旋转可知），

∴∠1=30°． ∵A'B=4，

∴A1D=2，BD=23 ∴CD=4+23； 在Rt△A1DC中，A1C=A1D2?DC2=22?(4?23)2=22+26．

∴AP+BP+CP的最小值是：22+26（或不化简为32+163）． 【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了图形的旋转的性质，画出图形是解本题的关键，也是难点．

28．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣

1时，△APC的面积取最大值，最大值2为

27115，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM

428的周长最小，△ANM周长的最小值为32?10． 【解析】 【分析】

（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣

323x﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可22解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】

（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

??1?b?c?0?b??2，解得：?， ??4?2b?c?3c?3??∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：

?m?n?0?m??1，解得：?， ???2m?n?3?n?1∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．

（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．

设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），

∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APC＝

2711333AQ?PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．

222228∵﹣

3＜0， 2∴当x＝﹣

271115△APC的面积取最大值， 时，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）．

4228（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，

∴MN＝CM，

∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．

∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC＝32?32 ＝32，AN＝32?12 ＝10， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．

∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣

323x﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称22性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

29．（1）b=-2，c=3；（2）存在，点P坐标为（-E（?，）． 【解析】

试题分析：：（1）将A、B两点坐标代入（2）假设存在一点P（x，

27315，），△PBC的面积最大值是；（3）4283322即可求出

），则△PBC的面积可表示为

；

.从而可求出△PBC的面积最大值及点P的坐标；

（3）根据题意易证

，所以

，当OE

最小时，△OEF面积取得最小值，点E在线段BC上, 所以当OE⊥BC时，OE最小此时点E是BC中点，因此 E（

，

） .

试题解析：（1） 将A、B两点坐标代入－2，c=3；

（2）存在．理由如下： 设P点∵当当

时， ∴时，

，∴,

∴∴∴当∵点

, ∴

最小时，△OEF面积取得最小值. 在线段

上, ∴当

时，

?1?b?c?0得：{，解得： b=

?9?3b?c?0

最大＝

）

,而,

∴点P坐标为（（3）∵

最小.

此时点E是BC中点 ∴

（

，

）.

1.二次函数的定义;2.二次函数的图像;3.二次函数的最大值和最小值;3.求二次函数的解考点：

析式;4.二次函数的应用 30．（1）90；（2）S△CBE=【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质可知：∠DEC=45°，再由等边对等角得∠BEC=45°，则∠CED=90°；

BC=BE，（2）由△ABC≌△DBE得出BA=BD，进而得出根据面积比等于相似比的平方求出△CBE的面积；

（3）作辅助线，当点P在F处时BP最小，则BG最小，MP'最小；当点P在点C处时，BP最大，则BH最大，MP'最大，代入计算即可得出结论．

试题解析：解：（1）由旋转得：∠DEB=∠ACB=45°，BC=BE，∴∠ACB=∠BEC=45°，∴∠CED=90°．故答案为：90；

（2）∵△ABC≌△DBE，∴BA=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，

2552；（3）线段MP'的最大值为7，最小值为﹣2． 42BABD?，证明△ABD∽△CBE，BCBESVABDBABDAB216?∴∵∠ABD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴=∵S△ABD=4，．（）=．

SVCBEBCBEBC25∴S△CBE=

25； 41AB=2．如图③，过点B作BF⊥AC，F为垂足．∵△ABC252，以B为圆心，252﹣2，2（3）∵M是AB的中点，∴BM=

sin45°=为锐角三角形，∴点F在线段AC上．在Rt△BCF中，BF=BC×

BF为半径画圆交AB于G，BP'有最小值BG，∴MP'的最小值为MG=BG﹣BM=以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于H，BP'有最大值BH．此时MP'的最大值为BM+BH=2+5=7，∴线段MP'的最大值为7，最小值为

52﹣2． 2

点睛：本题是三角形旋转的综合题，考查了三角形旋转的性质：旋转前后的两个图形全等；考查了全等三角形和相似三角形的对应边的关系，本题利用两三角形全等的对应边相等，列比例式证明另外两三角形相似，这一证明思路值得借鉴． 31．（1）半径为10，点B（0，3）； （2）①yAC＝

115x－2，②点Q坐标为（－，－ ） 26210145，AQ最大值为 23（3）AQ最小值为【解析】试题分析：(1)、过点A作AE⊥x轴，则AE＝1，ME＝3，从而得出圆的半径，然后根据Rt△MOB的勾股定理得出OB的长度，得出点B的坐标；(2)、首先设直线AC的解析式为：y=kx+b，根据中心对称的性质得出点C的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；根据题意得出直线BC的解析式为y=3x+3，设点P的坐标为(x，3x+3)，从而得出点N的坐标，然后根据点N在直线AC上求出x的值，从而得出点Q的坐标；(3)、根据最小值和最大值的计算法则以及勾股定理得出最值.

试题解析：（1）过点A作AE⊥x轴，则AE＝1，ME＝3，∴AM＝所以BM＝

，∵OM＝1，∴OB＝3，即点B（0，3）

，即半径为

（2）①设解析式为设yAC＝kx＋b 由题意得点C与点B关于点M成中心对称， ∴点C（－2，－3） 又点A（2，－1）

即当x＝2时，y＝－1；当x＝－2时，y＝－3 解得k＝－2

②可求yBC＝3x＋3，设点P（x，3x＋3） 由题意得点N为(x＋∵点N落在AC上，所以3x＋3＝

( x＋

)－2 解得x＝－

，3x＋3)

，b＝－2 ∴yAC＝

x

所以点Q坐标为（－，－）

（3）AQ最小值为， AQ最大值为

点睛：本题主要考查的就是圆的基本性质、勾股定理、一次函数的性质以及最值的计算法则，综合性比较强，难度较大.在解答圆里面的题目时，我们经常会通过构造直角三角形，转化为直角三角形的题目来进行计算，在求弦长的时候，我们经常会通过垂径定理来进行计算.在求函数解析式的时候，我们需要利用待定系数法来进行求解.在求最值问题的时候，我们一定要能够画出最小值或最大值的实际情况，然后根据性质得出答案.

32．（1）证明见解析；（2）成立．理由见解析；（3）最大值为32+2，最小值10． 【解析】 【分析】

（1）由“SAS”可证△BDC≌△DFE，可得结论； （2）由“SAS”可证△BDC≌△DFE，可得结论；

（3）由等腰直角三角形的性质可得AB，BF的长，可得点F在以B为圆心，BF长为半径的圆上，即可求解． 【详解】

证明：（1）如图①，

∵△ABC和△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDF＝90°， ∴AC＝BC，DF＝DB，∠CAB＝∠ABC＝∠DBF＝∠DFB＝45°， ∵四边形CAED是平行四边形，

∴CA＝DE＝BC，CD＝AE，CA∥DE，∠ACD＝∠AED， ∴∠CAD＝∠ADE＝45°， ∴∠EDF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，

∴∠EDF＝∠ABC＝45°，且BC＝DE，DF＝DB， ∴△BDC≌△DFE（SAS）

∴EF＝CD＝AE，∠FED＝∠BCD， ∵∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠AED＝∠FED＝90°， ∴AE⊥EF；

（2）结论仍然成立， 如图②，

∵△ABC和△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDF＝90°， ∴AC＝BC，DF＝DB， ∵四边形CAED是平行四边形，

∴CA＝DE＝BC，CD＝AE，CA∥DE，∠ACD＝∠AED， ∴∠ACD+∠CDE＝180°，且∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠CDE＝90°+∠BCD，

∵∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠CDB，且∠BDC+∠CDE+∠EDF+∠BDF＝360°， ∴∠BDF=360°-∠BDC-∠CDE-∠EDF=180°﹣∠BCD﹣∠CDB ∴∠EDF＝∠CBD，且BC＝DE，DF＝DB， ∴△BDC≌△DFE（SAS）

∴EF＝CD＝AE，∠FED＝∠BCD， ∵∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠AED＝∠FED＝90°， ∴AE⊥EF；

（3）∵BC＝3，BD＝2，且△ABC和△BDF均为等腰直角三角形， ∴AB＝32，BF＝2，

∴点F在以B为圆心，BF长为半径的圆上， ∵将图①中△BDF绕点B顺时针旋转180°，

∴当点F在线段AB的延长线上时，AF有最大值为32+2， 当点F在图①位置时，AF有最小值，AF＝【点睛】

本题考查了旋转的性质，能够利用旋转推出条件判定三角形全等是解题的关键 33．（1）CD与⊙O相切，y=值为【解析】

试题分析：（1）因为A、D、O在一直线上，?ADC?90?，

AD2?DF2?8?2?10 （2）S?7?13x，S的最大值为

，S的最小

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线 CD与⊙O相切时，有两种情况： ① 点在第二象限时（如图①），

设正方形ABCD的边长为a，

2则a2＋（a＋1）?13，

解得a?2，或a??3（舍去）

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA， 所以

，

所以DE=，OE=，

所以点D1的坐标是（-，）

所以OD所在直线对应的函数表达式为y??②切点在第四象限时（如图②），

2x 3

2设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）?13，

解得b??2（舍去），或b?3

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA， 所以

，

所以OF=，DF=，

所以点D2的坐标是（，-）

所以OD所在直线对应的函数表达式为y??3x 2（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，

2则BD2?BG2＋DG2?（BO－OG）＋OD2?OG2

=

所以S?AB?2

1BD2?7?13x 2，

因为?1?x?1，所以S的最大值为S的最小值为

考点：函数图象与几何的结合

点评：作为试卷的压轴题，难度一般都不小，此类题目，只能通过多做多练，寻找其中的规律

34．（1）OA=2+23；（2）2+13；（3）2+13，43. 【解析】 【分析】

（1）解直角三角形求出AD、OD即可；

（2）如图2中，取BC的中点K，连接OK，AK，OA．因为OA≤AK＋OK，推出O、K、A共线时，OA的值最大；

（3）如图3中，取BC的中点K，连接OK、EK、OE．因为OE≤OK＋EK，推出O、K、E共线时，OE的值最大，当点C与O重合时，OE的值最小. 【详解】 （1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=4，∠ACD=60°， ∵AD⊥BC，

∴BD=CD，AD=AC?sin60°=23， ∴OD=

1BC=2， 2∴OA=2+23．

（2）如图2中，取BC的中点K，连接OK，AK，OA．

在Rt△BOC中，OK=

1BC=2， 2在Rt△ACK中，AK=32+22=13， ∵OA≤AK+OK，

∴O、K、A共线时，OA的值最大，最大值为2+13． （3）如图3中，取BC的中点K，连接OK、EK、OE．

则OK=

1BC=2，EC=43，∠ECK=90°， 2在Rt△ECK中，EK=22+43∵OE≤OK+EK，

??2=213，

∴O、K、E共线时，OE的值最大，最大值为2+213． 当点C与O重合时，OE的值最小，最小值为43． 【点睛】

本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、正六边形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型． 35．(1)PN=PB，PN⊥PB；(2)略；(3)2?1,2?1 【解析】

（1）由旋转的性质可得△ABC≌△ANM,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到PN和PB之间的位置关系和数量关系；（2）结论一样，证明的方法与（1）一样；（3）连接OP，利用勾股定理可得出线段PN的最大值和最小值. 解：（1）PN?PB，PN?PB． （2）连接PO， ∵??90?， ∴?MAB?90?． ∵?ABC?90?， ∴AM//BC． ∵VAMN≌VABO， ∴AB?AM，OB?MN， ∴AM//BC，AM=BC,

又∵?ABC?90?,

∴四边形ABCM为正方形． ∵P为CM中点，O为AC中点， ∴OPPAM，

∴OP?PM，?POC??MAC?45?， ∴?BOP??BOC??POC?135?． ∵?PMN?90??45??135?， ∴?PMN??POB．

12VPMN≌VPOB，

∴PN?PB，?MPN??OPB． ∵?MPO?90?， ∴?NPB?90?， ∴PN?PB． （3）连接OP．

∵P，O为AC，MC中点， ∴OP?11AM?AB?1． 22在RtVAOB中， ∵OA?OB，AB?2， ∴OB?2．

PO?OP?PB?BO?PO．

∵PB?PN， ∴2?1?PN?2?1．

?PN最大值为2?1，最小值为2?1．

36．（1）（1，

-1）或（-1，+1）；（2）直线BC与⊙O相切；理由见解析；（3）

， 当x=1时，S的最小值为

．(4) y=－x+

S=;当x=-1时，S的最大值为

或y=x－．

【解析】试题分析：（1）中有两种情况，即A点坐标为（1，0）或（-1，0），根据AB=AC，

求出C点坐标．（2）根据题意过点O作OM⊥BC于点M，求出OM的长，与半径比较得出位置关系．（3）过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求AE的长，然后再在Rt△BAE中求出AB的长，进而求出面积的表达式，根据定义域确定最大最小值．（4）相切时有两种情况，在第一象限或者第四象限，连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A点坐标，AB所在直线对应的函数关系式很容易就能求出． 试题解析：（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=当点A的坐标为（-1，0）时，AB=AC=（2）直线BC与⊙O相切 过点O作OM⊥BC于点M，

-1，点C的坐标为（1，

+1）；

-1）；

+1，点C的坐标为（-1，

∴∠OBM＝∠BOM=45°, ∴OM=OB·sin45°=1 ∴直线BC与⊙O相切 （3）过点A作AE⊥OB于点E

在Rt△OAE中，AE2=OA2-OE2=1- x2， 在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2=(1-x2) +（∴S=AB·AC= AB2=(3-2其中-1≤x≤1，

当x=-1时，S的最大值为

， x)=

-x）2=3-2

x

当x=1时，S的最小值为．

（4）①当点A位于第一象限时(如图)： 连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E

∵直线AB与⊙O相切， ∴∠OAB=90°， 又∵∠CAB=90°， ∴∠CAB+∠OAB=180°， ∴点O、A、C在同一条直线上 ∴∠AOB=∠C=45°， 在Rt△OAE中，OE=AE=． 点A的坐标为（，） 过A、B两点的直线为y=－x+

．

②当点A位于第四象限时(如图)：

点A的坐标为（，－） 过A、B两点的直线为y=x－

．

【点睛】本题是一次函数与圆、三角形结合的题，用到了圆的性质，圆与直线的关系以及三角形相似等知识，知识面比较广，要求综合能力比较高． 37．（1） MN=1DG；MN⊥DG；（2）成立，理由见解析；（3）5，2. 2

【解析】

试题分析：（1）连接FN并延长，与AD交于点S，如图①．易证明△SDN≌△FGN，则有DS=GF，SN=FN．然后运用三角形中位线定理即可解决问题；

（2）过点M作MT⊥DC于T，过点M作MR⊥BC于R，连接FC、MD、MG，如图②，根据平行线分线段成比例即可得BR=GR=MR=

11BG，DT=ET=DE，根据梯形中位线定理可得2211（FG+AB），MT=（EF+AD），从而可得MR=MT，RG=TD，由此可得22△MRG≌△MTD，则有MG=MD，∠RMG=∠TMD，则有∠RMT=∠GMD，进而可证得△DMG是直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解决问题；

（3）连接GM到点P，使得PM=GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，易证△APD≌△CGD，则有PD=DG，根据等腰三角形的性质可得DM⊥PG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MN=

1DG，要求MN的最大值和最小值，只需2求DG的最大值和最小值，由GC=CE=3可知点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，再由DC=BC=7，就可求出DG的最大值和最小值.

试题解析：（1）连接FN并延长，与AD交于点S，如图①．

∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形， ∴∠D=90°，AD=DC，GC=GF，AD∥BE∥GF， ∴∠DSN=∠GFN． 在△SDN和△FGN中，

??DSN??GFN???SND??FNG， ?DN?GN?∴△SDN≌△FGN， ∴DS=GF，SN=FN．

∵AM=FM， ∴MN∥AS，MN=

1AS， 2∴∠MNG=∠D=90°， MN=

1111（AD-DS）=（DC-GF）=（DC-GC）=DG． 2222（2）（1）的结论仍然成立．

理由：过点M作MT⊥DC于T，过点M作MR⊥BC于R，连接FC、MD、MG，如图②，

则A、F、C共线，MR∥FG∥AB，MT∥EF∥AD． ∵AM=FM，

11BG，DT=ET=DE， 2211∴MR=（FG+AB），MT=（EF+AD）．

22∴BR=GR=

∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形， ∴FG=GC=EC=EF，AB=BC=DC=AD， ∴MR=MT，RG=TD． 在△MRG和△MTD中，

?MR?MT???MRG??MTD， ?RG?TD?∴△MRG≌△MTD，

∴MG=MD，∠RMG=∠TMD， ∴∠RMT=∠GMD．

∵∠MRC=∠RCT=∠MTC=90°， ∴四边形MRCT是矩形， ∴∠RMT=90°， ∴∠GMD=90°．

∵MG=MD，∠GMD=90°，DN=GN， ∴MN⊥DG，MN=

1DG． 2（3）连接GM到点P，使得PM=GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，

在△AMP和△FMG中，

?AM?FM???AMP??FMG， ?PM?GM?∴△AMP≌△FMG， ∴AP=FG，∠APM=∠FGM， ∴AP∥GF， ∴∠PAQ=∠Q，

∵∠DOG=∠ODQ+∠Q=∠OGC+∠GCO， ∠ODQ=∠OGC=90°， ∴∠Q=∠GCO， ∴∠PAQ=∠GCO．

∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形， ∴DA=DC，GF=GC， ∴AP=CG．

在△APD和△CGD中，

?AP?CG???PAD??GCD， ?AD?CD?∴△APD≌△CGD，

∴PD=DG． ∵PM=GM， ∴DM⊥PG． ∵DN=GN， ∴MN=

1DG． 2∵GC=CE=3，

∴点G在以点C为圆心，3为半径的圆上， ∵DC=BC=7，

∴DG的最大值为7+3=10，最小值为7-3=4， ∴MN的最大值为5，最小值为2． 考点：正方形综合题.

38．(1)抛物线解析式为y=?x2+2x+3，P(顶点坐标E(1,4).（2）(

33,).Q点坐标为(3,0),(?3,6), （3）2218110,)，(?, ).（4）m的最大值为5,最小值为?54. 3333【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法，把A、B两点坐标代入抛物线的解析式，转化为解方程组即可． （2）设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），根据S△BDC=S△PDC+S△PDB，构建二次函数，利用二次函数的性质解决即可．

（3）根据相似三角形性质和判定，分类讨论.

（4）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案． 【详解】

(1)∵抛物线y=?x2+bx+c的图象经过点A(?1,0)、B(3,0)， ∴???1?b?c?0,

??9?3b?c?0?b?2解得?，

c?3?∴抛物线解析式为y=?x2+2x+3， 顶点坐标E(1,4).

(2)如图1中，

∵B(3,0),C(0,3)

∴直线BC的解析式为y=?x+3， 设P(a,3?a),则D(a,?a2+2a+3)， ∴PD=(?a2+2a+3)?(3?a)=?a2+3a， ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=

1 2PD?a+

11PD?(3?a)=PD?3， 22=

27333(?a2+3a)=?(a?)2+， 22283<0， 2333∴当a=时,△BDC的面积最大,此时P(,).

222∵?

(3)如图2中，

∵C(0,3),E(1,4),B(3,0)，

∴直线EC的解析式为y=x+3，直线BC的解析式为y=?x+3，

∵1×(?1)=?1， ∴EC⊥BC， ∴∠ECB=90?， ∴当

ECCQECCQ??或时，点Q、C、E所构成的三角形与△AOC相似， COOAOACO即2CQ2CQ==或， 13312或32， 3∴CQ=

∴Q1(3,0),Q2(

18,)， 33110, ),Q4(?3,6)时也满足条件， 3318110综上所述,Q点坐标为(3,0),(?3,6), (,)，(?, ).

3333根据对称性可知当Q3(?

(4)如图3中，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，

当M在EF左侧时， ∵∠MNC=90?， 则△MNF∽△NCH， ∴

WFFN?， NHBC1?mn?， 3?m1设FN=n，则NH=3?n， ∴

即n2?3n?m+1=0，

关于n的方程有解,△=(?3)2?4(?m+1)?0， 得m??54，

??

当M在EF右侧时,Rt△CHE中,CH=EH=1,∠CEH=45,即∠CEF=45， ?

作EM⊥CE交x轴于点M,则∠FEM=45，

∵FM=EF=4， ∴OM=5，

即N为点E时，OM=5，此时m的值最大， ∴m?5，

∴m的最大值为5,最小值为?54， 【点睛】

本题考核知识点：二次函数综合运用.解题关键点：熟记二次函数基本性质，运用数形结合思想和分类讨论思想解题.

39．（1）AC＝DE，AC⊥DE；（2）（1）中的结论：AC＝DE，AC⊥DE仍然成立，见解析；（3）BM的最小值为25﹣2，最大值为25+2． 【解析】 【分析】

(1)连接OA，OC，可证△AOC≌△DOE(SAS)； (2)方法和(1)相同，易证△AOC≌△DOE(SAS)；

(3)在旋转过程中，取AD中点N，连接MN，BN，BM，BM、MN、BN不共线时构成三角形，由三角形边的关系“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可知：BN﹣MN＜BM＜BN+MN，当B，N，M共线时，

得到BM＝BN+MN和BM＝BN﹣MN分别为BN的最大值、最小值． 【详解】

(1)如图1和图2，连接OA，OC， ∵正方形ABCD，

∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，∠AOD＝∠COE＝90°， ∴∠AOD+∠DOC＝∠COE+∠DOC，即∠AOC＝∠DOE， ∴△AOC≌△DOE(SAS)， ∴AC＝DE，∠ACO＝∠DEO，

∵∠DEO+∠EMO＝90°，∠EMO＝∠CMD， ∴∠ACO+∠CMD＝90°，

∴AC⊥DE，

故答案为AC＝DE，AC⊥DE；

(2)(1)中的结论：AC＝DE，AC⊥DE仍然成立， 如图3，连接OA，OC，延长AC，ED交于M， ∵∠AOC+∠COD＝∠DOE+∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠DOE， ∵OA＝OC＝OD＝OE， ∴△AOC≌△DOE(SAS)，

∴∠OAC＝∠＝OCA＝∠ODE＝∠OED， ∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°， ∴∠AOC+∠OAC+∠OED＝180°， ∴∠OAC+∠AOE+∠OED＝270°， ∵∠OAC+∠AOE+∠OED+∠M＝360°， ∴∠M＝90°， ∴AC⊥DE；

(3)如图3，取AD中点N，连接MN，BN，BM， AB＝AD＝4，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，AN＝DN，∴MN＝在Rt△ABN中，BN＝11AD＝×4＝2， 22AB2?AN2?42?22?25，

当△ECF在平面内旋转时，BN﹣MN≤BM≤BN+MN， ∴25﹣2≤BM≤25+2．

∴BM的最小值为25﹣2，最大值为25+2．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，还考查了几何旋转变换和“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，熟练掌握相关知识是解题的关键. 40．（1）120°；（2）60°；（3）BP的最小值为2，BP的最大值为6 【解析】

（1）证△ABE≌△CAD (SAS)，从而可求得∠APC=120°； 试题分析：

（2）证△ABE≌△CAD (SAS)，从而可求得∠APC=60°；

（3）当D、E分别移动到AB、BC中点时，BP的最小值为2 ；当点D、点E在AB、BC的延长线上无限移动时，∠BAP逐渐接近120°，此时BP的最大值为6

试题解析：

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵AD=BE，∴△ABE≌△CAD (SAS)，∴∠BAE=∠ACD，∵∠EPC=∠ACD+∠EAC，∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°-∠EPC=120°，∴∠EPC=60°，∴∠APC=180°；

（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∴∠DBC=120°，∵AD=BE，∴△ABE≌△CAD (SAS)，∴∠D=∠E，又∵∠BCD=∠PCE，∴∠CPE=∠DBC=120°-∠CPE=60° ，∴∠APC=180°（3）BP的最小值为2 BP的最大值为6.

点睛：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地判断△ABE与△CAD全等是解决本题的关键.