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2019-2020学年黑龙江省绥化市明水二中八年级下学期期中数学试卷 (解析版)

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在△AED和△CFB中

∴△AED≌△CFB(AAS), ∴DE=BF,

∴OD﹣DE=OB﹣BF,即OE=OF, ∴四边形AFCE是平行四边形.

26.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,连接CD.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若∠ADB=30°,BD=12,求AD的长.

【分析】(1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB,证出AB=AD,同理:AB=BC,得出AD=BC,证出四边形ABCD是平行四边形,即可得出结论; (2)由菱形的性质得出AC⊥BD,OD=OB=BD=6,再由三角函数即可得出AD的长.

【解答】证明:(1)∵AE∥BF, ∴∠ADB=∠CBD, 又∵BD平分∠ABF, ∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ABD=∠ADB, ∴AB=AD, 同理:AB=BC, ∴AD=BC,

∴四边形ABCD是平行四边形, 又∵AB=AD,

∴四边形ABCD是菱形;

(2)∵四边形ABCD是菱形,BD=12, ∴AC⊥BD,OD=OB=BD=6, ∵∠ADB=30°, ∴cos∠ADB=

∴AD=.

27.已知:如图,在?ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)求证:四边形AECF是矩形.

【分析】(1)由平行四边形的性质得出∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC,由已知得出∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°,由AAS证明△ABE≌△CDF即可; (2)证出∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,即可得出结论. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC, ∵AE⊥BC,CF⊥AD,

∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°, 在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(AAS); (2)证明:∵AD∥BC, ∴∠EAF=∠AEB=90°, ∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°, ∴四边形AECF是矩形.

28.如图1,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点.DE⊥AG于点E,BF∥DE且交AG于点F. (1)求证:AE=BF;

(2)如图2,如果点G是BC延长线上一点,其余条件不变,则线段AF、BF、EF有什么数量关系?请证明出你的结论.

【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得DA=AB,再根据同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE,然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等,再根据全等三角形对应边相等可得BF=AE,AF=DE,然后根据图形列式整理即可得证;

(2)根据题意作出图形,然后根据(1)的结论可得BF=AE,AF=DE,然后结合图形写出结论即可.

【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,BF⊥AG,DE⊥AG, ∴DA=AB,∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°, ∴∠BAF=∠ADE, 在△ABF和△DAE中,∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴BF=AE,AF=DE, (2)AF+BF=EF;

∵四边形ABCD是正方形,BF⊥AG,DE⊥AG, ∴DA=AB,∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°, ∴∠BAF=∠ADE, 在△ABF和△DAE中,∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴BF=AE,AF=DE,

, ,

∴AF+EF=BF.

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