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函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－ e 7．(2018·衡水中学调研卷)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图像如图， ∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有两个交点． 18．(2017·东城区期末)已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( ) 1－xA．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 111 答案 B解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1， 1－x1－xx－1＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B. 9．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( ) A．x1x2<0 B．x1x2＝1 C．x1x2>1 答案 D 解析 作出函数y＝10x与y＝|lg(－x)|的图像，如图所示．因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图像交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1 D．0 10．(2018·湖北襄阳一中期中)已知a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，若0 2 A．f(x0)<0 B．f(x0)＝0 C．f(x0)>0 2D．f(x0)的符号不确定 2答案 A解析 因为函数f(x)＝2x－log1x在(0，＋∞)上是增函数，a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，即f(a)＝0，所以当0 11．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则( ) A．a 解析 ∵ea＝－a，∴a<0.∵lnb＝－b，且b>0，∴0 D．b lgx，x>0，?? 12．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝?1则函数 －，x<0，?x?h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 答案 B解析 当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像是一段开口向下的抛物线，y＝f(x)的最大值为1.∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以2为周期的周期函数．f(x)和g(x)在[－5，5]内的图像如图所示，有8个交点，所以函数h(x)有8个零点． 13．函数y＝ 1 的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 1－x A．2 B．4 C．6 D．8 答案 D 解析 如图，两个函数图像都关于点(1，0)成中心对称，两个图像在[－2，4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8. 1 14．(2018·沧州七校联考)给定方程()x＋sinx－1＝0，有下列四个命题： 2p1：该方程没有小于0的实数解； p2：该方程有有限个实数解； p3：该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解； p4：若x0是该方程的实数解，则x0>－1. 其中的真命题是( ) A．p1，p3 B．p2，p3 C．p1，p4 答案 D 111 解析 由()x＋sinx－1＝0，得sinx＝1－()x，令f(x)＝sinx，g(x)＝1－()x，在同一 2221 坐标系中画出两函数的图像如图，由图像知：p1错，p3，p4对，而由于g(x)＝1－()x 2递增，小于1，且以直线y＝1为渐近线，f(x)＝sinx在－1到1之间振荡，故在区间(0，＋∞)上，两者的图像有无穷多个交点，所以p2错，故选D. x??2－a，x≤0， 15．若函数f(x)＝?有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． ?lnx，x>0，? D．p3，p4 答案 (0，1] 解析 当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0 ?x＋1，x≤0，? 16．已知函数f(x)＝?则函数y＝f(f(x))＋1的所有零点所构成的集合为________． ?logx，x>0，?2 11 答案 {－3，－，，2} 24 1 解析 由题意知f(f(x))＝－1，所以f(x)＝－2或f(x)＝，则函数y＝f(f(x))＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x) 21111 ＝的x值．解f(x)＝－2，得x＝－3或x＝；解f(x)＝，得x＝－或x＝2. 242211 从而函数y＝f(f(x))＋1的零点构成的集合为{－3，－，，2}． 24 2 17．判断函数f(x)＝4x＋x2－x3在区间[－1，1]上零点的个数，并说明理由． 3答案 有一个零点 27213 解析 ∵f(－1)＝－4＋1＋＝－<0，f(1)＝4＋1－＝>0， 3333 91 ∴f(x)在区间[－1，1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－2(x－)2， 229 当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤， 2 ∴f(x)在[－1，1]上是单调递增函数．∴f(x)在[－1，1]上有且只有一个零点． 18．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点． 答案 m＝－2，零点是x＝0 解析 方法一：令2x＝t，则t>0，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0仅有一正根或两个相等的正根， Δ＝m－4＝0，??而g(0)＝1>0，故?m∴m＝－2. －>0.??2方法二：令2x＝t，则t>0. t2＋11 原函数的零点，即方程t＋mt＋1＝0的根．∴t＋1＝－mt.∴－m＝＝t＋(t>0)． tt 2 2 2 有一个零点，即方程只有一根． 111 ∵t＋≥2(当且仅当t＝即t＝1时取等号)，又y＝t＋在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． ttt∴－m＝2即m＝－2时，只有一根． 注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数 ． 1．(2018·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B解析 作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B. 2．函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D解析 借助余弦函数的图像求解．f(x)＝xcos2x＝0?x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0，2π]上有 π3π5π7π ，，，，共4个根，故原函数有5个零点． 4444 － 3．方程2x＋x2＝3的实数解的个数为( ) A．2 B．3 C．1 D．4 答案 A 解析 构造函数y＝2 －x 与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图像，可知有两个交点，故方程2x＋x2 － ＝3的实数解的个数为2.故选A. 4．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 解析 由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝e1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此f(x) － 的零点个数是1，故选B. 1 5．设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)( ) 3 11 A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点 ee 11 C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 ee11 答案 D解析 方法一：令f(x)＝0得x＝lnx.作出函数y＝x和y＝lnx的图像，如图， 331 显然y＝f(x)在(，1)内无零点，在(1，e)内有零点，故选D. e 111x－31 方法二：当x∈(，e)时，函数图像是连续的，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在(，e)上单调递减．又 e3x3xe1111 f()＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．故选D. e3e3366．(2014·北京)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) x
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