立体几何知识点整理（文科）
一． 直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
lαlmαl//m??m????l//? l????方法二：用面面平行实现。
符号表示：
βαl?//????l//? l??? 2. 线面相交
lAα符号表示：
3. 线在面内
l方法三：用平面法向量实现。 nl若n为平面?的一个法向量，
αn?l且l??,则l//?。
符号表示：
α
二． 平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
l?3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。
?m????l//m
????m??
l//?l??βαl'm'mll//l'方法二：用面面平行实现。
lβγαm??m//m'????//?l,m??且相交?l',m'??且相交??
方法二：用线面平行实现。
?//???????l??l//m ????m??方法三：用线面垂直实现。 若l??,m??，则l//m。 方法四：用向量方法：
若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。
2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。
l//???m//????//?l,m??且相交??
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αβmll
方法三：用向量方法：
若向量l和向量m的数量积为0，则l?m。
αACB
三．垂直关系： 1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：(0?,90?] (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：
al?AC??l?AB???l??
AC?AB?A?AC,AB????
方法二：用面面垂直实现。
nαAθPOβlm?????????m??l?? l?m,l????
cos??α2. 面面垂直：
a?b?c
2ab222cbθ(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量
CθAB方法一：用线面垂直实现。
βll???????? l???
的夹角
(计算结果可能是其补角)：
αcos??(二) 线面角
AB?ACAB?AC 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
lmα(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO??于O,连结AO，则AO为斜线PA在面?内的射影， ?PAO(图中?)为直线l与面?所成的角。
PAθl?????l?m
m???
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PAOPO????l?OA??l?PA l????αO
(2)范围：[0?,90?]
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α
l当??0?时，l??或l//? 当??90?时，l?? (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角?为二面角?—l—?的平面角。
???mnPln1θn2uruururuurn1?n2步骤一：计算cos?n1?n2??uruurn1?n2
uruur步骤二：判断?与?n1?n2?的关系，可能相等或
者互补。
四． 距离问题。
1．点面距。 方法一：几何法。
P
(2)范围：[0?,180?] (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面?和?，
步骤1：过点P作PO??于O，线段PO即为所求。 步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
m?AO?n则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。
βPθαOA
如图，m和n为两条异面直线，n??且则异面直线m和n之间的距离可转化为直m//?，
线m与平面?之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
方法三：公式法。
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BcaAm如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，
dn?bDm'm//m'，则异面直线m和n之间的距离为：
Cd?c2?a2?b2?2abcos?
五． 空间向量
(一) 空间向量基本定理
C D A A1C1B1 若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量B p，都存在唯一的有序实数对x、y、z，使得p?xa?yb?zc。
(二) 三点共线，四点共面问题 1. A，B，C三点共线?
uuuruuuruuurOA?xOB?yOC，且x?y?1
当x?y?1时，A是线段BC的 2A，B，C三点共线?AB??AC 2. A，B，C，D四点共面?
uuuruuuruuuruuurOA?xOB?yOC?zOD，且x?y?z?1
当x?y?z?1时，A是△BCD的 3A，B，C，D四点共面?AB?xAC?yAD (三)空间向量的坐标运算
1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：
A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2) 则：
uuuruuurAB? ;dA,B?AB?
r2. 若空间中的向量a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)
rrrr则a?b? a?b?
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rrrra?b? cos?a?b??
六．常见几何体的特征及运算 (一) 长方体
1. 长方体的对角线相等且互相平分。
2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为?、?、?，则cos?+cos?+cos??
222αβγβαγ
222若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为?、?、?，则cos?+cos?+cos?? 3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。 (二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。 (三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体)
(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (六) 体积：V棱柱? V棱锥? (七) 球
1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是 。
3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。 4.球的表面积公式： 体积公式：
高考题典例
考点1 点到平面的距离
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