再根据AB∥DC可得∠ACD＝∠BAC，由圆周角定理可得∠BAC＝∠M，∠BCP＝∠ACD，从而可推导得出∠PCM＝90°，根据切线的判定即可得；
（2）连接OB，由AD是⊙O的切线，可得∠PAD＝90°，再由BC∥AD，可得AP⊥BC，从而得BE＝CE＝
1BC＝1，继而可得到∠ABC＝∠ACB＝67.5°，从而得到∠BAC＝45°，由圆周2角定理可得∠BOC=90°，从而可得∠BOE＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，根据已知条件可推导得出OE＝CE＝1，PC＝OC＝OE2?CE2?2，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.
【详解】（1） 过C点作直径CM，连接MB， ∵CM为直径，
∴∠MBC＝90°，即∠M+∠BCM＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠M，∠BCP＝∠ACD， ∴∠M＝∠BCP，
∴∠BCP+∠BCM＝90°，即∠PCM＝90°， ∴CM⊥PC， ∴PC与⊙O相切； （2）连接OB，
∵AD是⊙O的切线，切点为A， ∴OA⊥AD，即∠PAD＝90°，
∵BC∥AD，∠AEB=∠PAD＝90°， ∴AP⊥BC．∴BE＝CE＝ ∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°， ∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，AP⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝∠OCE＝ 45°， ∵∠PCM＝90°，∴∠CPO＝∠COE＝∠OCE＝ 45°， ∴OE＝CE＝1，PC＝OC＝OE2?CE2?2， ∴S＝S△POC－S扇形OFC＝1?2?2?1BC＝1， 245π??2?22360?1?π． 4
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.
8．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； (2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形． 【详解】
（1）直线PD为⊙O的切线， 理由如下： 如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO， ∴∠BDO=∠PBD， ∵∠PDA=∠PBD， ∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴直线PD为⊙O的切线； （2）∵BE是⊙O的切线， ∴∠EBA=90°， ∵∠BED=60°， ∴∠P=30°， ∵PD为⊙O的切线， ∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=3， ∴tan30?∴PO?0OD，解得OD=1， PDPD2?OD2=2，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1； （3）如图2，
依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF， ∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF， ∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF， ∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°，
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°， ∵四边形AFBD内接于⊙O， ∴∠DAF+∠DBF=180°， 即90°+x+2x=180°，解得x=30°， ∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°， ∵BE、ED是⊙O的切线， ∴DE=BE，∠EBA=90°，
∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形， ∴BD=DE=BE，
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴BD=DF=BF， ∴DE=BE=DF=BF， ∴四边形DFBE为菱形.
【点睛】
本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC=∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
35． 4（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD?角形的性质即可得到结论． 【详解】
（1）如图，连接BD．
∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°． ∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE． ∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
DE2?CE2?5，证明△CDE∽△DBE，根据相似三
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