2006年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试卷

2006年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试卷

2006年5月21日 8：30~11：00

一、选择题（每题6分共36分）

1. 如果集合A={y|y=－x2+1，x∈R+}，B={y|y=－x+1，x∈R}，则A与B的交集是（ ） A. (0，1)或(1，1) B. {(0，1)，(1，1)} C. {0，1} D. (－∞，1)

2. 对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为（ ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004

3. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3

4. 已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（ ）

A. x=π/3 B. x=2π/3 C. x=11π/6 D. x=π

5. 若函数f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是（ ） A. (0，1) B. (－∞，1) C. (0，+∞) D. (0，0.5) 6. 在6个产品中有4个正品，2个次品，现每次取出1个作检查（检查完后不再放回），直到两个次品都找到为止，则经过4次检查恰好将2个次品全部都找到的概率是（ ） A. 1/15 B. 2/15 C. 1/5 D. 4/15 二、填空题（每题9分共54分） 7. 若sin2(x?111111??5?410?3610?2345?11111??12)?sin2(x??12)???3?1，且x?(,)，则tanx的值为__________。

2448. 已知函数f(x)?log1x，设x?2abc，y?，z?，其中0

9. 椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，若∠ABF是直角，则这个椭圆的离心率为_________。

10. 若关于x的方程1?x2?log2(x?a)有正数解，则实数a的取值范围为________。

11. 已知P为△ABC内一点，且满足3PA?4PB?5PC?0，那么S△PAB：S△PBC：S△PCA =___。 12. 如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，?，记这个数列前

n3n项和为S(n)，则lim=___________。

n???S(n)三、解答题（每题15分共60分）

13. 求证1?234?n?3，其中n为任意正整数。

14. 已知抛物线C：x2=2py(p>0)，O是坐标原点，M(0，b)(b>0)为y轴上一动点，过M作直线交C于A、B两点，设S△ABC =mtan∠AOB，求m的最小值。

15. 设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。 16. 骰子是一个质量均匀的正方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点。现在桌面上有3只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作，直到桌子上没有骰子：将桌上的骰子全部掷出，然后去掉那些奇数点的骰子。求完成以上操作的次数多于三次的概率。 答案：1~6. DACCDD 7. ?2?3 8. x>y>z 9.

5?1 10. (－2，0] 11. 5：3：4 212. 6 13. 解略 14.－0.5p2 15. 22004+1 16. 169/512