高中新课程数学（新课标人教A版）必修四《3.2简单的三角恒等变
换》评估训练
双基达标
限时20分钟
1．计算sin 105°cos 75°的值是( )．
1122A. B. C. D. 2424
11
解析 sin 105°cos 75°＝sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，故选B.
24答案 B
2．(2012·佛山高一检测)使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )．
πππ2π
A. B. C. D. 6323解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ) π??＝2sin?2x＋＋θ?.
3??
2
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.
3答案 D
3．函数f(x)＝sin x－3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )． 5π??A.?－π，－? 6??
π??5π
B.?－，－?
6??6
?π?C.?－，0?
?3??π?D.?－，0?
?6?
π5??π??解析 f(x)＝2sin?x－?，f(x)的单调递增区间为?2kπ－，2kπ＋π?(k∈Z)，
3?66???
?π5?令k＝0得增区间为?－，π?. ?66?
答案 D 4．化简 1＋
π－θ2
?3π<θ<2π?＝________. ?2???
sin
2
解析 原式＝
1－cos θ＝ 2
θ?θ?
＝?sin ?.
2?2?
3π3θθ
∵<θ<2π，∴π<<π，∴原式＝sin . 2422
θ
答案 sin 2
5．已知函数f(x)＝asin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值为2，则f(x)的最小正周期为________．
解析 ∵f(x)＝a＋1sin[(1－a)x＋φ]， 由已知得a＋1＝2，所以a＝3.
2π∴f(x)＝2sin(－2x＋φ)，∴T＝＝π.
|－2|答案 π
π??22
6．已知tan?θ＋?＝3，求5sinθ－3sin θcos θ＋2cosθ的值．
4??π?π???解 tan θ＝tan??θ＋?－?
4?4???π?π?tan?θ＋?－tan
4?4?1
＝＝，
π?π2?1＋tan?θ＋?·tan 4?4?
5sinθ－3sin θcos θ＋2cosθ
∴原式＝ 22
sinθ＋cosθ5tanθ－3tan θ＋27＝＝. 2
tanθ＋15
综合提高
限时25分钟
2
2
2
7．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是( )． A．等腰三角形 C．直角三角形
B．正三角形 D．等腰直角三角形
解析 因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以已知方程可化为sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.又－π α 1＋tan 24 8．(2012·汕尾高一检测)若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于( )． 5α 1－tan211 A．－ B. C．2 D．－2 2243解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－. 55 αsin 2 1＋ ααααcos1＋tancos＋sin 2222 ∴＝＝ αααα1－tansincos－sin2222 1－ αcos 2ααααcos＋sincos＋sin 2222＝· ααααcos－sincos＋sin 22223 1－51＋sin α1 ＝＝＝－. cos α42 －5答案 A sin 4xcos 2xcos x9．化简··＝________. 1＋cos 4x1＋cos 2x1＋cos x解析 原式＝ 2sin 2xcos 2xcos 2xcos xsin 2xcos x··＝·＝2 2cos2x1＋cos 2x1＋cos x1＋cos 2x1＋cos x2sin xcos xcos xsin xx·＝＝tan . 22cosx1＋cos x1＋cos x2答案 tan 2 10．(2012·天津高一检测)如果a＝(cos α＋sin α，2 008)，b＝(cos α－sin α，1)，1 且a∥b，那么＋tan 2α＋1的值是________． cos 2α cos α＋sin α 解析 由a∥b，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，∴＝2 008. cos α－sin α1cos 2α ＋ tan 2α ＝ 2 x1cos 2α ＝＋ sin 2αcos 2α ＝ 1＋sin 2α22cosα－sinα ＝ α＋cos α α＋sin αα－sin α∴ cos α＋sin α ＝2 008. cos α－sin α 1 ＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009. cos 2α 答案 2 009 π?π??2?11．已知函数f(x)＝ 3sin?2x－?＋2sin?x－?(x∈R)． 6???12?(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． ?π??π?解 (1)∵f(x)＝3sin 2?x－?＋1－cos 2?x－? ?12??12? ＝2? ?3?π?1?π??sin 2?x－?－cos 2?x－??＋1 ?12?2?12???2 π?π???x－2＝2sin???－?＋1 ??12?6? π?2π?＝2sin?2x－?＋1，∴T＝＝π. 3?2?π??(2)当f(x)取得最大值时，sin?2x－?＝1， 3??ππ5π 有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)， 3212 ??5π ∴所求x的集合为?x|x＝kπ＋，k∈Z?. 12?? 12．(创新拓展)已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，82?θπ?且|m＋n|＝，求cos?＋?的值． 5?28? 解 m＋n＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m＋n|＝＝4＋22＝2 θ－sin θ＋2θ－sin θ ＝ 2 ＋θ＋sin θ 2 π??4＋4cos?θ＋? 4?? π??1＋cos?θ＋?. 4?? π?782?由已知|m＋n|＝，得cos?θ＋?＝. 4?255?π?π??2?θ 又cos?θ＋?＝2cos?＋?－1， 4???28?π?162?θ 所以cos?＋?＝. ?28?25 5πθπ9π ∵π<θ<2π，∴<＋<. 8288 ?θπ?∴cos?＋?<0. ?28? 4?θπ?∴cos?＋?＝－. 5?28?
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