【最新推荐】2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题一三角函数与解三角形第

(2)若2a＋b＝2c，求sin C.

[解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C， 故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a21

由余弦定理得cos A＝＝.

2bc2因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.

(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即312

cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 222

因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝故sin C＝sin[(C＋60°)－60°]

＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝[解题方略] 正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理； (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． 题型二 利用正、余弦定理进行面积计算

A＋C

[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin

2＝bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

A＋CA＋C

[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．因为sin A≠0，所以sin

22＝sin B.

A＋CB

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，

22BBB

故cos＝2sincos. 222

BB1

因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.

222

6＋2

. 42， 2

6＋2

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝

3a. 4

－C?csin Asin?120°31

由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.

sin Csin C2tan C2由于△ABC为锐角三角形，故0°

故

?3，3?.

2??8

[解题方略] 三角形面积公式的应用原则

111

(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角

222的公式．

(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． 题型三 正、余弦定理的实际应用

[例3] 如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.

[解析] 设CD＝h，则AD＝

h

，BD＝3h. 3

在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°， 则由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°， 可得

1302＝3h2＋

h2h?1?

－， －2·3h··

33?2?

解得h＝1039，故塔的高度为1039 m. [答案] 1039

[解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤

[多练强化]

1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin b1

B＝4csin C，cos A＝－，则c＝( )

4

A．6 C．4

B．5 D．3

解析：选A ∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.

b2＋c2－a2b2＋c2－?4c2＋b2?－3c2b1

由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.

c2bc2bc2bc4故选A.

2．(2019·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csin B＝4asin C.

(1)求cos B的值； π

2B＋?的值． (2)求sin?6??

bc

解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，

sin Bsin C得bsin C＝csin B．由3csin B＝4asin C， 得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.

42

因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a.由余弦定理可得

33

41622＋a2－aaa＋c－b991

cos B＝＝＝－. 2ac24

2·a·a

3

2

2

2

(2)由(1)可得sin B＝1－cos2B＝

15， 4

从而sin 2B＝2sin Bcos B＝－7

cos 2B＝cos2B－sin2B＝－，

8

15， 8

35＋7πππ15371

2B＋?＝sin 2Bcos ＋cos 2Bsin ＝－故sin?×－×＝－. 6??66828216

3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积S△ABC＝

253

，且a＝5，求sin B＋sin C. 4

解：(1)∵b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A， ∴2bccos A＝accos C＋c2cos A， ∵c＞0，∴2bcos A＝acos C＋ccos A，

由正弦定理得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A， 即2sin Bcos A＝sin(A＋C)． ∵sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，

∴2sin Bcos A＝sin B，即sin B(2cos A－1)＝0， 1

∵0

2π

∵0＜A＜π，∴A＝. 3

13253(2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝，∴bc＝25.

244b2＋c2－a2b2＋c2－251

∵cos A＝＝＝，∴b2＋c2＝50，

2bc22×25∴(b＋c)2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10(或求出b＝c＝5)，