考点一 集合
一、选择题
1．(2019·福建龙岩、漳州5月模拟)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|2x－3>0}，则A∪B＝( )
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
?3?C.?，＋∞? ?2?
答案 B
???3解析 因为B＝{x|2x－3>0}＝?x?x>
??2?
?3?D.?0，?
?2?
??
?，所以A∪B＝[1，＋∞)，故选B. ??
2．(2019·辽宁双基测试)已知全集U＝{2,4,6,8,10}，集合A，B满足?U(A∪B)＝{8,10}，
A∩?UB＝{2}，则集合B＝( )
A．{4,6} B．{4} C．{6} D．? 答案 A
解析 作出Venn图(如图)，则?UB＝[?U(A∪B)]∪[A∩(?UB)]＝{2,8,10}，所以B＝{4,6}，故选A.
3．(2019·山东日照5月校际联考)已知全集U＝R，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
- 1 -
A．{－1} C．{－1,0} 答案 C
解析 阴影部分表示集合为A∩(?RB)，又?RB＝{x|x＜1}，则A∩?RB＝{－1,0}，故选C. 4．设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x<1}，则( ) A．P?Q B．Q?P C．P??RQ D．Q??RP 答案 B
解析 依题意得Q＝{x|－1 5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}＝( ) A．M∪N B．(?UM)∪(?UN) C．M∩N D．(?UM)∩(?UN) 答案 D 解析 由题意，全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，观察知，集合{5,6}＝?U(M∪N)，又?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)，∴(?UM)∩(?UN)＝{5,6}，故选D. 6．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝( ) A．{3,0} C．{3,0,2} 答案 B 解析 ∵P∩Q＝{0}，∴log2a＝0，∴a＝1，从而b＝0，∴P∪Q＝{3,0,1}，故选B. 7．(2019·湖北部分重点中学第二次联考)已知集合A＝{x|2x－4<0}，B＝{x|2<1}，则以下结论正确的是( ) A．A∩B＝? C．A∪B＝{x|x<0} x2 B．{0} D．{－1,0,1} B．{3,0,1} D．{3,0,1,2} B．A∩B＝{x|x<0} D．A∪B＝R - 2 - 答案 B 解析 由题意得A＝{x|x<2}，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<2}．故选B. 8．(2019·山东烟台5月适应性练习(二))设集合A＝{x|y＝x－3}，B＝{y|y＝2，x≤3}，则集合(?RA)∩B＝( ) A．{x|x<3} C．{x|0 解析 因为A＝{x|y＝x－3}＝{x|x≥3}??RA＝{x|x<3}，B＝{y|y＝2，x≤3}＝{y|0 二、填空题 ???x≤09．设集合M＝?x? ??x－1? xxB．{x|x≤3} D．{x|0 ?? ?，N＝{x|0 答案 {x|0≤x<2} 解析 由题意得M＝{x|0≤x<1}，又∵N＝{x|0 答案 －4 ??|x＋7|＝3， 解析 由题意得?2 ??x＋2x－3＝5， 2 由|x＋7|＝3，得x＝－4或－10， 由x＋2x－3＝5，得x＝－4或2， 所以x＝－4. 11．(2019·广西柳州1月模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x－1}，B＝{(x，y)|y＝－2x＋5}，则A∩B＝________. 答案 {(2,1)} 解析 由? ?y＝x－1，? 2 ??y＝－2x＋5， 得x＝2，y＝1，故A∩B＝{(2,1)}． 12．(2019·广东湛江高考测试(二))已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为________． 答案 4 解析 ∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，∴B＝{－1,1,3,5}，∴A∩B＝{1,3}，则该集合的子集个数为2＝4. 三、解答题 - 3 - 2 ???1 13．已知集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝?x?－ ???2 ?? ?. ?? (1)当a＝1时，求(?RB)∪A； (2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围． ???1 解 (1)当a＝1时，A＝{x|0<2x＋1≤3}＝?x?－ ???2???1 ∵B＝?x?－ ??2? ?? ?. ?? ?? ?， ?? ???1 ∴?RB＝?x?x≤－或x≥2 2??? ?? ?. ?? ∴(?RB)∪A＝{x|x≤1或x≥2}． (2)若A∩B＝A，则A?B. ???a3－a∵A＝{x|0<2x＋a≤3}＝?x?－ 2???2 ?? ?， ?? a1 －≥－，??22∴?3－a??2<2. 解得－1 ∴实数a的取值范围是(－1,1]． 14．设全集是实数集R，A＝{x|2x－7x＋3≤0}，B＝{x|x＋a<0}． (1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B； (2)若(?RA)∩B＝B，求实数a的取值范围． ???1 解 (1)∵A＝?x?≤x≤3 ???2 2 2 ?? ?， ?? 当a＝－4时，B＝{x|－2 ???1 ∴A∩B＝?x?≤x<2 ???2 ???1 (2)?RA＝?x?x<或x>3 ???2 ?? ?，A∪B＝{x|－2 当(?RA)∩B＝B时，B??RA，即A∩B＝?. ①当B＝?，即a≥0时，满足B??RA； 11 ②当B≠?，即a<0时，B＝{x|－－a 241 综上可得，实数a的取值范围是a≥－. 4 - 4 - 一、选择题 1．(2019·江西重点中学盟校第一次联考)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝ ???x－1?x?>0，x∈Z??4－x? ?? ?，则A∩B＝( ) ?? A．{2,3} C．{1,2,3} 答案 A B．{1,2,3,4} D．{1,2,3,5} ???x－1x－1 >0，x∈Z解析 解不等式>0得1 ?? ?＝{2,3}，因为?? A＝ {1,2,3,4,5}，所以A∩B＝{2,3}．故选A. 2．(2019·宁夏石嘴山三中三模)若集合A＝{1，x,4}，B＝{1，x}，且B?A，则x＝( ) A．2 B．2，－2 C．2，－2,0 D．2，－2,0,1 答案 C 解析 因为B?A，所以x∈{1，x,4}．当x＝1时，与B＝{1，x}矛盾；当x＝x时，x＝0或x＝1(与A＝{1，x,4}矛盾，舍去)，即x＝0时，满足B?A；当x＝4时，x＝2或x＝－2，都满足B?A.所以x＝0或x＝2或x＝－2.故选C. 3．(2019·安徽定远月考)已知集合A＝{x|x－2x－3≤0}，B＝{x|x A．(－1，＋∞) C．[3，＋∞) 答案 D 解析 由题意得A＝{x|x－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，又A∩B＝A，则A?B，数形结合得a>3，故选D. 4. 若集合M，N，P是全集S的子集，则图中阴影部分表示的集合是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 B．[－1，＋∞) D．(3，＋∞) - 5 - A．(M∩N)∩?SP B．(M∩N)∪P C．(M∩N)∩P D．(M∩N)∪?SP 答案 A 解析 图中阴影部分表示的集合是(M∩N)∩?SP. ???kππ 5．集合M＝?x?x＝＋，k∈Z 24??? ?????kππ ?，N＝?x?x＝＋，k∈Z 42????? ?? ?，则( ) ?? A．M＝N B．M?N C．M?N D．M∩N＝? 答案 C ??? 解析 集合M＝?x?x＝ ??? 2k＋1π ，k∈Z4 ??????，N＝?x?x＝????? k＋2π 4 ，k∈Z ?? ?，2k＋?? 1是奇数，k＋2是整数，所以M?N. 22 ???xy6．已知集合M＝?x?＋＝1 ??94? ?????xy?，N＝?y?＋???32?? ?? ＝1?，则M∩N＝( ) ?? A．? C．[－2,2] 答案 D B．{(3,0)，(0,2)} D．[－3,3] 解析 因为集合M＝{x|－3≤x≤3}，N＝R，所以M∩N＝[－3,3]，故选D. 7．(2019·内蒙古呼和浩特六中月考)设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是( ) A．[1,3] B．[1，＋∞) - 6 - C．[3，＋∞) 答案 B D．(1,3) 2a≥2，?? 解析 ∵A∪B＝A，∴B?A，当B＝?时，2a＞a＋3，解得a＞3；当B≠?时，?a＋3≤6， ??a≤3，解得1≤a≤3.综上有a≥1，故选B. 8．(2019·安徽定远重点中学期中)设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果 k2?A，且k?A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg (36－x2)}，设M?S，且 集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案 C 解析 依题意得S＝{0,1,2,3,4,5}，由题意知，集合M不能含有0,1，也不能同时含有2,4，即集合M可以是{2,3}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共5个．故选C. 二、填空题 9．已知集合A＝{x|x＋x＝0}，若集合B满足{0}B?A，则集合B＝________. 答案 {－1,0} 解析 ∵解方程x＋x＝0，得x＝－1或x＝0，∴集合A＝{－1,0}，又集合B满足{0}B?A，∴集合B＝{－1，0}． ????1?x10．已知全集为R，集合A＝?x???≤1 ???2?? 2 2 ?? ?，B＝{x|x2－x－2>0}，则A∩(?RB)＝________. ?? 答案 [0,2] 解析 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>2或x<－1}，?RB＝{x|－1≤x≤2}，A∩(?RB)＝{x|0≤x≤2}． 11．(2019·山西晋城二模)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则a的取值范围为________． ?4?答案 ?，＋∞? ?3? 解析 因为A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|x≥a或x≤a－1}，A∪B＝R，所以3－2a≤a－1，4 解得a≥. 3 12．有54名学生，其中会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的人数多4人，1 另外这两种球都不会的人数比都会的人数的还少1，则既会打篮球又会打排球的人数为 4________． 答案 28 - 7 - 解析 设54名学生组成的集合为I，组成会打篮球的同学的集合为A，组成会打排球的同学的集合为B，作出相应的Venn图(如图)， 则两种球都会打的同学集合为A∩B，并设此集合的元素个数为x，则两种球都不会的同1 学集合为(?IA)∩(?IB)，其元素个数为x－1；只会打篮球的同学集合为A∩(?IB)，其元素个 4数为36－x；只会打排球的同学集合为(?IA)∩B，其元素个数为40－x，则(36－x)＋(40－x) ?1?＋x＋?x－1?＝54，解得x＝28，所以既会打篮球又会打排球的有28人． ?4? 三、解答题 13．设非空集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{y|y＝x，x∈A}，若 2 B∪C＝B，求实数a的取值范围． 解 因为A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}， 所以B＝{y|－1≤y≤2a＋3}． 又B∪C＝B，所以C?B. ①当－2≤a<0时，C＝{y|a≤y≤4}， 1 所以2a＋3≥4，所以a≥，与条件矛盾； 2②当0≤a≤2时，C＝{y|0≤y≤4}， 11 所以4≤2a＋3，解得a≥，此时≤a≤2； 22③当a>2时，C＝{y|0≤y≤a}， 所以a≤2a＋3，可得－1≤a≤3，此时2 ???1 综合①②③，实数a的取值范围为?a?≤a≤3 ??2? 2 22 ?? ?. ?? - 8 - 14．已知三个集合A＝{x∈R|log3(x－5x＋9)＝1}，B＝{x∈R|22x－4 2 ＝1}，C＝{x∈R|x2 ax＋a2 －19>0}． (1)求A∩B； (2)已知A∩C＝?，B∩C＝?，求实数a的取值范围． 解 (1)∵A＝{x∈R|x2 －5x＋9＝3}＝{2,3}， B＝{x∈R|x2－4＝0}＝{2，－2}，∴A∩B＝{2}． (2)∵A∩C＝?，B∩C＝?， ∴2?C，－2?C,3?C， ∵C＝{x∈R|x2 －ax＋a2 －19>0}， ?2 ?a－2a－15≤0，?≤5，∴?a2 ＋2a－15≤0，即? ??－5≤a≤3， ?a2－3a－10≤0， －3≤a??－2≤a≤5. 解得－2≤a≤3. 所以实数a的取值范围是[－2,3]． - 9 - －
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