M‖x‖≤‖x‖1 ≤M′‖x‖.
8. 定义2 设(R1,‖x‖1 )和(R2 ,‖x‖2 )是两个赋范线性空间.如果存在从R1 到R2 上的线性映射φ和正数c1 ,c2,使得对一切x∈R1,成立
c1 ‖φx‖2 ≤‖x‖1 ≤c2 ‖φx‖2
则称(R1 ,‖x‖1)和(R2,‖x‖2 )这两个赋范空间是拓扑同构的.
8.推论2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构.
(二)有界线性算子和连续线性泛函
第一节 有界线性算子和连续线性泛函
定义1 设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间,D是X的线性子空间,T为D到Y中的映射,如果对任何x,y∈D,及数α,有
T(x+y)= Tx+ Ty, (1)
T(αx)=αTx, (2)
则称T为D到Y中的线性算子,其中D称为T的定义域,记为D(T),TD称为T的值域,记为R(T),当T取值于实(或复)数域时,就称T为实(或复)线性泛函.
定义2 设X和Y是两个赋范线性空间,T是X的线性子空间D(T)到Y 中的线性算子,如果存在常数c,使对所有x∈D(T),有
‖Tx‖≤c‖x‖, (3) 则称T是D(T)到Y中的有界线性算子,当D(T)= X时,称T为X到Y中的有界线性算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子.本书主要讨论有界算子.
定理1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子,则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子.
定理2 设X是赋范线性空间,f是X上线性泛函,那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N(f)是X中的闭子空间
定义3 T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空 间Y中的线性算子,称
T?supx?0x?D?TTx?x (4)
为算子T在D(T)上的范数.
引理1 设T是D(T)上有界线性算子,那么
T?supTx?supTx （6）
x?D?Tx?1?x?D?Tx?1?Ⅲ. 有界线性算子和连续线性泛函的例子
例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx=αx是有界线性算子,且‖T‖=|α|,特别‖IX ‖=1,‖O‖=0.
第二节 有界线性算子空间和共轭空间 Ⅰ. 有界线性算子全体所成空间
定理1 当Y是Banach空间时,B(X→Y)也是Banach空间. Ⅱ. 共轭空间
定义1 设X是赋范线性空间,令X′表示X上连续线性泛函全体所成的空间,称为X的共轭空间.
定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间.
定义2 设X和Y是两个赋范线性空间,T是X到Y中的线性算子,并且对所有x∈X,有
‖Tx‖=‖x‖,
则称T是X到Y中的保距算子,如果T又是映射到Y上的,则称T是同构映射,此时称X与Y同构.
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