二次函数在闭区间上的最值

二次函数的最值问题

求函数的值域

一、直接法：（从自变量x的范围出发，推出y?f(x)的取值范围）

例1．求函数y?

二、二次函数法

例2．已知x,y?0,2x?y?6，求Z?4x2?3xy?y2?6x?3y的最值。

三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）

一、知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

二、例题分析归类：

（一）、正向型

x?2的值域。

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关1?x键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 例3．求函数y?1. 轴定区间定

2x?5的值域。 例1、已知函数f(x)?x2?2tan?x?1,x?[?1,3],，当????四、反函数法

6时，求函数f(x)的最大值与最小值。

例4、求函数的值域。

（1）y?x2?1

x2?1

2. 轴动区间定

五、换元法

例2、求函数f(x)?x2-2ax-1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值. 例5、求下列函数的值域。

（1）y?2x?41?x

3. 轴定区间动

六、函数的单调性法

例3、已知函数f(x)?x2-2x?3，当x?[t,t?1]时，求函数的最大值和最小值. 例6、求函数y?x?1?2x的值域。

七、数型结合法

4. 轴变区间变

例7、求下列函数的值域。

例4、求函数y??x(x?a)在x?[?1,a]上的最大值。 （1）y?x?1?x?1

（二）、逆向型 八、利用函数的有界性

例8、求下列函数的值域。

例5、已知函数f(x)?ax2?2ax?1在区间[?3,2]上的最大值为4，求实数a的值。 （1）y?sinx 2?cosx

九、对勾函数型

例9、求下列函数的值域

)??x2例6、已知函数f(xx2y??3(x2?x在区间[m,n]上的值域是[3m,3n]，求m，n的值。

（1）x?1??1)

十、简单复合函数法

例10、求下列函数的值域

(1)y?1?2例7、已知函数y??sin2x?asinx?a14x?2x?2?5

4?2的最大值为2，求a的值 ．

1

（2）y?3x?1x?2(x?1) （2） y?x?4?9?x2 （2）y?sinx2?cosx

（2）y?2sinx-3cosx?2

(2)y?x2?xx2?x?1