2
故椭圆的方程为x2
+y2
=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).
2
2
y联立直线与椭圆的方程得??x+2=1,
?
x-y+m=0,
即3x2+2mx+m2-2=0,所以Δ=(2m)2-4×3×(m2-2)>0,即m2<3, 且xx1+x2
0=
=-m3,y=2m20=x0+m3
,
即M??m2m?
?-3,3??
,又因为M点在圆x2+y2=5上,
所以??m?2?2m?2
?-3??+??3??
=5,解得m=±3,与m2<3矛盾.故实数m不存在.
22. 解: (1)当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+x2
,
f′(x)=1
1+x-1+2x.
由于f(1)=ln 2,f′(1)=3
2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-ln 2=3
2
(x-1),即3x-2y+2ln 2-3=0.
(2)f′(x)=xkx+k-1
1+x,x∈(-1,+∞).
当k=0时,f′(x)=-x1+x.
所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0; 在区间(0,+∞)上,f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(-1,0), 单调递减区间是(0,+∞). 当0 1+x=0, 得xx1-k1=0,2=k>0. 所以,在区间(-1,0)和(1-kk,+∞)上,f′(x)>0; 在区间(0,1-kk)上,f′(x)<0. - 9 - 故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(1-kk,+∞), 单调递减区间是(0,1-kk). 当k=1时,f′(x)=x2 1+x. 故f(x)的单调递增区间是(-1,+∞). 当k>1时,由f′(x)=xkx+k-1 1+x=0, 得x1-k1=k∈(-1,0),x2=0. 所以,在区间(-1,1-kk)和(0,+∞)上,f′(x)>0;在区间(1-kk,0)上,f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(-1,1-kk)和(0,+∞), 单调递减区间是(1-kk,0). - 10 -
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