(Ⅲ)如解图②,将B点向下平移两个单位,得D点,连接AD交对称轴于点P,作BQ∥PD交对称轴于点Q,
∵PQ∥BD,BQ∥PD,
∴四边形BDPQ是平行四边形, ∴BQ=PD,PQ=BD=2, ∴BQ＋PC=PD＋AP=AD, 由勾股定理,得AD=22AO2?OD2=32?12=10,
22BC=OC?OB=1?3=10,
∴四边形CBQP周长的最小值=BC＋BQ＋PQ＋PC =BC＋PQ＋(BQ＋PC) =BC＋PQ＋AD =10＋2＋10 =210＋2,
设AD的解析式为y=kx＋b,将A、D点坐标代入得,
1???3k?b?0?k? ?,解得?3, ?b?1??b?1∴直线AD的解析式为y=
1x＋1, 322当x=－1时,y=,即P(－1,),
33由|PQ|=2,且Q点纵坐标大于P点纵坐标得Q(－1,
8), 328故当四边形CBQP周长最小时,点P的坐标为(－1,),点Q的坐标为(－1,),四边形CBQP周
33长的最小值是210＋2.
图① 图② 第10题解图
11. 已知抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3). (Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=
2EF,请求出点P的坐标; 5(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度? 解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x－3), 把点C(0,－3)代入得:a×1×(－3)=－3, 解得a=1,
∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x－3), 即y=x2－2x－3,
∵y=x2－2x－3=(x－1)2－4, ∴顶点D的坐标为(1,－4);
(Ⅱ)如解图,设直线CD的解析式为y=kx＋b, 把点C(0,－3),D(1,－4)代入得
1?b??3?k?－,解得?, ??k?b??4?b?－3∴直线CD的解析式为y=－x－3, 当y=0时,－x－3=0, 解得x=－3, 则E(－3,0),
设P(t,t2－2t－3)(t＞1), 则M(t,－t－3),F(t,0),
∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－(－t－3)=t2－t,
而PM=
2EF, 52(t＋3), 535∴t2－t=
整理得5t2－7t－6=0, 解得t1=－(舍去),t2=2,
当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3, ∴点P坐标为(2,－3);
第11题解图
(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,－5),
设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,
当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时, 令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解, 则b2－4ac=1－4m=0, 解得m=
1; 4若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5), 则4－4－3＋m=－5,解得m=－2;
若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点E(－3,0), 则9－2×(－3)－3＋m=0, 解得m=－12, ∴抛物线向上最多平移
1个单位长度,向下最多平移12个单位长度. 4
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