(2)bn＝
1?11?11－＝?.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝?（13－3n）（10－3n）3?10－3n13－3n?3
n?1－1?＋?1－1?＋…＋?1－1?＝1?1－1?＝
?710??47??10－3n13－3n?3?10－3n10?10（10－3n）. ????????
17．D1、D2[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1， 由(1)知，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列， a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
19．D2，D3，D4[2014·山东卷] 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)
n－1
4nanan＋1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
2×1
19．解： (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
2
S4＝4a1＋4×3
×2＝4a1＋12， 2
2
由题意得(2a1＋2)＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)由题意可知，
bn＝(－1)n－1
＝(－1)＝(－1)
n－1
4nanan＋1
4n
（2n－1）（2n＋1）
n－1
?1＋1?. ?2n－12n＋1????11??1
当n为偶数时，
＋Tn＝?1＋?－?＋?＋…＋??3??35??2n－31＝1－
2n＋1
?
1?
1??11?＋－??
2n－1???2n－12n＋1?
5
＝
2n. 2n＋1
当n为奇数时，
＋＋Tn＝?1＋?－?＋?＋…－?＋
3352n－32n－1??2n－12n＋1???
1??11?????1
?
1??1??
1??
1
＝1＋
2n＋1＝2n＋2
. 2n＋1
2n＋2
，n为奇数，2n＋1?
n－1
??2n＋1＋（－1）
所以T＝??或T＝2n＋1?2n，n为偶数.??2n＋1
nn?
??
16．D2，D3，C8[2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值． 16．解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
2
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b＝ac. 由余弦定理得
a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1
cos B＝＝≥＝，
2ac2ac2ac2
当且仅当a＝c时等号成立， 1
∴cos B的最小值为. 2
11．D2、D3[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
14×311．－ [解析] ∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数
22列，
12
∴(2a1－1)＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.
2
22．D1，D2，M3[2014·重庆卷] 设a1＝1，an＋1＝an－2an＋2＋b(n∈N)． (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．
*
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n 22 (an＋1－1)＝(an－1)＋1. 2 从而{(an－1)}是首项为0，公差为1的等差数列， 2* 故(an－1)＝n－1，即an＝n－1＋1(n∈N)． 方法二：a2＝2，a3＝2＋1. 可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an＝n－1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 6 2 * 当n＝1时，结论显然成立． 假设n＝k时结论成立，即ak＝k－1＋1，则 ak＋1＝（ak－1）2＋1＋1＝（k－1）＋1＋1＝（k＋1）－1＋1， 这就是说，当n＝k＋1时结论成立． * 所以an＝n－1＋1(n∈N)． 2(2)方法一：设f(x)＝（x－1）＋1－1，则an＋1＝f(an)． 12 令c＝f(c)，即c＝（c－1）＋1－1，解得c＝. 4 下面用数学归纳法证明命题 a2n 1 当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2< 4 假设n＝k时结论成立，即a2k 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c) 故c 1* 综上，存在 c＝使a2n 4 方法二：设f(x)＝（x－1）＋1－1，则an＋1＝f(an)． * 先证：0≤an≤1(n∈N)． ① 当n＝1时，结论明显成立． 假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝2－1<1. 即0≤ak＋1≤1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．故①成立． * 再证：a2n 当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2 a2(k＋1)＝f(a2k＋1) * 这就是说，当n＝k＋1时②成立．所以②对一切n∈N成立． 2 由②得a2n 22 即(a2n＋1) 1 因此a2n<. ③ 4 又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2. 12 所以a2n＋1>a2n＋1－2a2n＋1＋2－1，解得a2n＋1>. ④ 4 1* 综上，由②③④知存在c＝使a2n 4 D3 等比数列及等比数列前n项和 2．D3[2014·重庆卷] 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 7 2 D．a3，a6，a9，成等比数列 2．D [解析] 因为在等比数列中an，a2n，a3n，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列． 12．D2、D3[2014·安徽卷] 数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 12．1 [解析] 因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1. 5 13．D3、B7[2014·广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 13．50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{an}为等比数列，且a10a11 5 ＋a9a12＝2e， 55 ∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e，∴a10a11＝e， ∴ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ 1051050 ln(a10a11)＝ln(e)＝ln e＝50. 10．D3[2014·全国卷] 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 ??a1q＝2， 10．C [解析] 设数列{an}的首项为a1，公比为q，根据题意可得，?4解得 ?a1q＝5，? 3 16 a＝，??125 ?5所以a＝aq??q＝2，1 n－1 n1 5?n－416?5?n－15?＝×??＝2×??，所以lg an＝lg 2＋(n－4)lg， 125?2?2?2? 55?5?所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg＝8lg 2＋4lg＝4lg?4×?＝ 22?2?4. 18．D2、D3、D5[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式． (2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 18．解：(1)设数列{an}的公差为d， 依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列， 2 故有(2＋d)＝2(2＋4d)， 2 化简得d－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2； 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2. (2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800， 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立． n[2＋（4n－2）]2 当an＝4n－2时，Sn＝＝2n. 2 8
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