高中数学圆锥曲线解题技巧总结教学内容

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即sin∠F1PF2的最大值为1。

x2y211、设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)

aba2?c成等差数列， 由题意：C、2C、ca2?c即a2?2c2， ∴4c?c?c∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2

x2y2椭圆方程为2?2?1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)

2bb22x12y12x2y2??1② 则2?2?1①

2bb2b2b222x12?x2y12?y2??0 ①-②得

2b2b2∴

xmym??k?0 222bb即

?2?k?0 ∴k=1 21122?12(18?2b2)2?43 3直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0， AB?x1?x21?1?2

x2y2??1，直线l方程为x-y+3=0 解得b=12， ∴椭圆方程为

241212、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，则

?x12y122x0??1① ? ①-②得?a2b22 ?2a2?x2?y2?1② ??a2b2?2y0?k?0 ③ 2b?,y1?),C(x2?,y2?),BC中点为M?(x0?,y0?)， 设B(x1?x12y121?12?0 ④2则? ?ab ?122y1?x2?22?0⑤ ?2b?a1?2y02x1④-⑤得2?2?k?0 ⑥

ab由③、⑥知M、M?均在直线l?:2x2y?2?k?0上，而M、M?又在直线l上 ， 2ab若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立

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若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立

若l不过原点且与x轴不垂直，则M与M?重合 ∴AB?CD

椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 精品文档

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4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x2y2xxyy5. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程

abxxyy是02?02?1. abx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点

ab角形的面积为S?F1PF2?btan2?2.

x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦

点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P

和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2，

abab2x0即KAB??2。

ay0x0xy0yx02y02x2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.

abababx2y2x2y2x0xy0y13. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2.

ababab双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x2y2xxyy5. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是02?02?1.

ababx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则

abxxyy切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ab22xy7. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，

ab则双曲线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot精品文档

2?2.

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x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别

交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于

点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2x0b2x0KOM?KAB?2，即KAB?2。

ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

abx0xy0yx02y02?2?2?2. 2ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

abx2y2x0xy0y?2?2?2. 2abab

椭圆与双曲线的经典结论

椭 圆

x2y21. 椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时

abx2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.

abx2y22. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，

abb2x0则直线BC有定向且kBC?2（常数）.

ay0x2y23. 若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,

ab?PF2F1??，则

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a?c???tancot. a?c22